Theorem eqeltrrid 2326

Description: B membership and equality inference. (Contributed by NM, 4-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqeltrrid.1	|- B = A
eqeltrrid.2	|- ( ph -> B e. C )

Assertion

Ref	Expression
eqeltrrid	|- ( ph -> A e. C )

Proof of Theorem eqeltrrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeltrrid.1	. . 3 |- B = A
2	1	eqcomi 2242	. 2 |- A = B
3		eqeltrrid.2	. 2 |- ( ph -> B e. C )
4	2, 3	eqeltrid 2325	1 |- ( ph -> A e. C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-ial 1587  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2231  df-clel 2234

This theorem is used by:  dmrnssfld  5045  cnvexg  5325  opabbrex  6132  offval  6310  resfunexgALT  6337  abrexexg  6347  abrexex2g  6349  opabex3d  6350  oprssdmm  6405  unfidisj  7229  residfi  7254  ssfii  7308  djuexb  7384  nqprlu  7914  iccshftr  10406  iccshftl  10408  iccdil  10410  icccntr  10412  mertenslem2  12319  exprmfct  12933  infpnlem1  13158  4sqlem13m  13202  ballotfilemfrcn0  13322  ennnfonelemg  13343  grpidvalg  13742  gzsumvalx  13758  grppropstrg  13873  releqgg  14072  eqgex  14073  prdsval  14222  prdsbaslemss  14223  aprprop  14650  issubassa  15062  0opn  15156  difopn  15258  tgrest  15319  txbasex  15407  txdis1cn  15428  cnmptid  15431  cnmptc  15432  cnmpt1st  15438  cnmpt2nd  15439  cnmpt2c  15440  hmeoima  15460  hmeocld  15462  fsumcncntop  15717  expcn  15719  plycoeid3  15907