Theorem isacnm 7286

Description: The property of being a choice set of length A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isacnm	|- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC A <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, z, j, A   f, X, g, x, z

Allowed substitution hints:   V( x, z, f, g, j)   W( x, z, f, g, j)   X( j)

Proof of Theorem isacnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 3609	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ~P y = ~P X )
2	1	rabeqdv 2757	. . . . . 6 |- ( y = X -> { z e. ~P y | E. j j e. z } = { z e. ~P X | E. j j e. z } )
3	2	oveq1d 5940	. . . . 5 |- ( y = X -> ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) = ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) )
4	3	raleqdv 2699	. . . 4 |- ( y = X -> ( A. f e. ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
5	4	anbi2d 464	. . 3 |- ( y = X -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
6		df-acnm 7258	. . 3 |- AC A = { y | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) }
7	5, 6	elab2g 2911	. 2 |- ( X e. V -> ( X e. AC A <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
8		elex 2774	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
9		biid 171	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
10	9	baib 920	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
12	7, 11	sylan9bb 462	1 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC A <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   ~Pcpw 3606   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   ^m cmap 6716  AC wacn 7256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-acnm 7258

This theorem is referenced by:  finacn  7287  acnccim  7355