Theorem isacnm 7512

Description: The property of being a choice set of length A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isacnm	|- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC A <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, z, j, A   f, X, g, x, z

Allowed substitution hints:   V( x, z, f, g, j)   W( x, z, f, g, j)   X( j)

Proof of Theorem isacnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 3674	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ~P y = ~P X )
2	1	rabeqdv 2809	. . . . . 6 |- ( y = X -> { z e. ~P y | E. j j e. z } = { z e. ~P X | E. j j e. z } )
3	2	oveq1d 6067	. . . . 5 |- ( y = X -> ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) = ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) )
4	3	raleqdv 2749	. . . 4 |- ( y = X -> ( A. f e. ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
5	4	anbi2d 464	. . 3 |- ( y = X -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
6		df-acnm 7478	. . 3 |- AC A = { y | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) }
7	5, 6	elab2g 2966	. 2 |- ( X e. V -> ( X e. AC A <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
8		elex 2827	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
9		biid 171	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
10	9	baib 927	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
12	7, 11	sylan9bb 462	1 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC A <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   {crab 2526   _Vcvv 2815   ~Pcpw 3671   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ^m cmap 6884  AC wacn 7476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-iota 5314  df-fv 5362  df-ov 6055  df-acnm 7478

This theorem is referenced by:  finacn  7513  acnccim  7591