Theorem isacnm 7393

Description: The property of being a choice set of length A. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isacnm	|- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC A <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, x, z, j, A   f, X, g, x, z

Allowed substitution hints:   V( x, z, f, g, j)   W( x, z, f, g, j)   X( j)

Proof of Theorem isacnm

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pweq 3652	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ~P y = ~P X )
2	1	rabeqdv 2793	. . . . . 6 |- ( y = X -> { z e. ~P y | E. j j e. z } = { z e. ~P X | E. j j e. z } )
3	2	oveq1d 6022	. . . . 5 |- ( y = X -> ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) = ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) )
4	3	raleqdv 2734	. . . 4 |- ( y = X -> ( A. f e. ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
5	4	anbi2d 464	. . 3 |- ( y = X -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
6		df-acnm 7360	. . 3 |- AC A = { y | ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P y | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) }
7	5, 6	elab2g 2950	. 2 |- ( X e. V -> ( X e. AC A <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) ) )
8		elex 2811	. . 3 |- ( A e. W -> A e. _V )
9		biid 171	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
10	9	baib 924	. . 3 |- ( A e. _V -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( A e. W -> ( ( A e. _V /\ A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )
12	7, 11	sylan9bb 462	1 |- ( ( X e. V /\ A e. W ) -> ( X e. AC A <-> A. f e. ( { z e. ~P X | E. j j e. z } ^m A ) E. g A. x e. A ( g ` x ) e. ( f ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   {crab 2512   _Vcvv 2799   ~Pcpw 3649   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   ^m cmap 6803  AC wacn 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010  df-acnm 7360

This theorem is referenced by:  finacn  7394  acnccim  7466