Theorem bj-nnord 16854

Description: A natural number is an ordinal class. Constructive proof of nnord 4739. Can also be proved from bj-nnelon 16855 if the latter is proved from bj-omssonALT 16859. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem bj-nnord

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans2 16848	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)
2		bj-omtrans 16852	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
3	2	sseld 3241	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ω))
4		bj-nntrans2 16848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
5	3, 4	syl6 33	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
6	5	alrimiv 1923	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
7		df-ral 2527	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
8	6, 7	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥)
9		dford3 4493	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥))
10	1, 8, 9	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1396   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  Tr wtr 4213  Ord word 4488  ωcom 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-nul 4241  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-bd0 16709  ax-bdor 16712  ax-bdal 16714  ax-bdex 16715  ax-bdeq 16716  ax-bdel 16717  ax-bdsb 16718  ax-bdsep 16780  ax-infvn 16837

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920  df-int 3955  df-tr 4214  df-iord 4492  df-suc 4497  df-iom 4718  df-bdc 16737  df-bj-ind 16823

This theorem is referenced by:  bj-nnelon  16855