Theorem bj-nnord 14795

Description: A natural number is an ordinal class. Constructive proof of nnord 4613. Can also be proved from bj-nnelon 14796 if the latter is proved from bj-omssonALT 14800. (Contributed by BJ, 27-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnord	⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Proof of Theorem bj-nnord

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-nntrans2 14789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Tr 𝐴)
2		bj-omtrans 14793	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ⊆ ω)
3	2	sseld 3156	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ω))
4		bj-nntrans2 14789	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ω → Tr 𝑥)
5	3, 4	syl6 33	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
6	5	alrimiv 1874	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
7		df-ral 2460	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → Tr 𝑥))
8	6, 7	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥)
9		dford3 4369	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (Tr 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Tr 𝑥))
10	1, 8, 9	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1351   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  Tr wtr 4103  Ord word 4364  ωcom 4591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-nul 4131  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-bd0 14650  ax-bdor 14653  ax-bdal 14655  ax-bdex 14656  ax-bdeq 14657  ax-bdel 14658  ax-bdsb 14659  ax-bdsep 14721  ax-infvn 14778

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-sn 3600  df-pr 3601  df-uni 3812  df-int 3847  df-tr 4104  df-iord 4368  df-suc 4373  df-iom 4592  df-bdc 14678  df-bj-ind 14764

This theorem is referenced by:  bj-nnelon  14796