Theorem brdom 6768

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brdom	|- ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem brdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren.1	. 2 |- B e. _V
2		brdomg 6766	. 2 |- ( B e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1503   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   class class class wbr 4018   -1-1->wf1 5228   ~<_ cdom 6757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-dm 4651  df-rn 4652  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-dom 6760

This theorem is referenced by:  domen  6769  domtr  6803  sbthlemi10  6983