Theorem brdom 6862

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
bren.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
brdom	|- ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem brdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bren.1	. 2 |- B e. _V
2		brdomg 6860	. 2 |- ( B e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
3	1, 2	ax-mp 5	1 |- ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B )

Syntax hints:   <-> wb 105   E.wex 1516   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   class class class wbr 4059   -1-1->wf1 5287   ~<_ cdom 6849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-dom 6852

This theorem is referenced by:  domen  6863  domtr  6900  sbthlemi10  7094