Theorem brdomi 6817

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	|- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6813	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelex2i 4708	. . 3 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
3		brdomg 6816	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A ~<_ B -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
5	4	ibi 176	1 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   -1-1->wf1 5256   ~<_ cdom 6807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-dom 6810

This theorem is referenced by:  2dom  6873  xpdom2  6899  dom0  6908  isinfinf  6967  infm  6974  djudom  7168  difinfsn  7175  exmidfodomrlemim  7280  1dom1el  15721  domomsubct  15732