Theorem brdomi 6999

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	|- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6993	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelex2i 4799	. . 3 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
3		brdomg 6998	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A ~<_ B -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
5	4	ibi 176	1 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   -1-1->wf1 5354   ~<_ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  domssr  7030  2dom  7059  1dom1el  7073  xpdom2  7095  dom0  7104  isinfinf  7167  infm  7177  djudom  7397  difinfsn  7404  exmidfodomrlemim  7517  3dom  16888  domomsubct  16901