Theorem brdomi 6779

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	|- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6775	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelex2i 4691	. . 3 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
3		brdomg 6778	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A ~<_ B -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
5	4	ibi 176	1 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wex 1503   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   class class class wbr 4021   -1-1->wf1 5235   ~<_ cdom 6769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-br 4022  df-opab 4083  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-dm 4657  df-rn 4658  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-dom 6772

This theorem is referenced by:  2dom  6835  xpdom2  6861  dom0  6870  isinfinf  6929  infm  6936  djudom  7126  difinfsn  7133  exmidfodomrlemim  7235  1dom1el  15229