Theorem brdomi 6988

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	|- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6982	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelex2i 4796	. . 3 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
3		brdomg 6987	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A ~<_ B -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
5	4	ibi 176	1 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   class class class wbr 4111   -1-1->wf1 5351   ~<_ cdom 6976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-dm 4761  df-rn 4762  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-dom 6979

This theorem is referenced by:  domssr  7019  2dom  7048  1dom1el  7062  xpdom2  7084  dom0  7093  isinfinf  7156  infm  7166  djudom  7386  difinfsn  7393  exmidfodomrlemim  7506  3dom  16779  domomsubct  16792