Theorem brdomi 6466

Description: Dominance relation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brdomi	|- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem brdomi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6462	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelex2i 4482	. . 3 |- ( A ~<_ B -> B e. _V )
3		brdomg 6465	. . 3 |- ( B e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( A ~<_ B -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
5	4	ibi 174	1 |- ( A ~<_ B -> E. f f : A -1-1-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   E.wex 1426   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3845   -1-1->wf1 5012   ~<_ cdom 6456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-dom 6459

This theorem is referenced by:  ctex  6470  2dom  6522  xpdom2  6547  dom0  6554  isinfinf  6613  infm  6620  djudom  6787  exmidfodomrlemim  6827