Theorem sbthlemi10 7032

Description: Lemma for isbth 7033. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
sbthlem.4	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
sbthlemi10	|- ( (EXMID /\ ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) ) -> A ~~ B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f, g   x, H   f, g, A   B, f, g

Allowed substitution hints:   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.4	. . . . . 6 |- B e. _V
2	1	brdom 6809	. . . . 5 |- ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B )
3		sbthlem.1	. . . . . 6 |- A e. _V
4	3	brdom 6809	. . . . 5 |- ( B ~<_ A <-> E. g g : B -1-1-> A )
5	2, 4	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) <-> ( E. f f : A -1-1-> B /\ E. g g : B -1-1-> A ) )
6		eeanv 1951	. . . 4 |- ( E. f E. g ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) <-> ( E. f f : A -1-1-> B /\ E. g g : B -1-1-> A ) )
7	5, 6	bitr4i 187	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) <-> E. f E. g ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) )
8		sbthlem.3	. . . . . . 7 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
9		vex 2766	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10	9	resex 4987	. . . . . . . 8 |- ( f |` U. D ) e. _V
11		vex 2766	. . . . . . . . . 10 |- g e. _V
12	11	cnvex 5208	. . . . . . . . 9 |- `' g e. _V
13	12	resex 4987	. . . . . . . 8 |- ( `' g |` ( A \ U. D ) ) e. _V
14	10, 13	unex 4476	. . . . . . 7 |- ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) e. _V
15	8, 14	eqeltri 2269	. . . . . 6 |- H e. _V
16		sbthlem.2	. . . . . . 7 |- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
17	3, 16, 8	sbthlemi9 7031	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> H : A -1-1-onto-> B )
18		f1oen3g 6813	. . . . . 6 |- ( ( H e. _V /\ H : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
19	15, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> A ~~ B )
20	19	3expib 1208	. . . 4 |- (EXMID -> ( ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> A ~~ B ) )
21	20	exlimdvv 1912	. . 3 |- (EXMID -> ( E. f E. g ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> A ~~ B ) )
22	7, 21	biimtrid 152	. 2 |- (EXMID -> ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) -> A ~~ B ) )
23	22	imp 124	1 |- ( (EXMID /\ ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) ) -> A ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   {cab 2182   _Vcvv 2763   \ cdif 3154   u. cun 3155   C_ wss 3157   U.cuni 3839   class class class wbr 4033  EXMIDwem 4227   `'ccnv 4662   |` cres 4665   "cima 4666   -1-1->wf1 5255   -1-1-onto->wf1o 5257   ~~ cen 6797   ~<_ cdom 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-exmid 4228  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-en 6800  df-dom 6801

This theorem is referenced by:  isbth  7033