Theorem sbthlemi10 6943

Description: Lemma for isbth 6944. (Contributed by NM, 28-Mar-1998.)

Hypotheses

Ref	Expression
sbthlem.1	|- A e. _V
sbthlem.2	|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3	|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
sbthlem.4	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
sbthlemi10	|- ( (EXMID /\ ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) ) -> A ~~ B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, D   x, f, g   x, H   f, g, A   B, f, g

Allowed substitution hints:   D( f, g)   H( f, g)

Proof of Theorem sbthlemi10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbthlem.4	. . . . . 6 |- B e. _V
2	1	brdom 6728	. . . . 5 |- ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B )
3		sbthlem.1	. . . . . 6 |- A e. _V
4	3	brdom 6728	. . . . 5 |- ( B ~<_ A <-> E. g g : B -1-1-> A )
5	2, 4	anbi12i 457	. . . 4 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) <-> ( E. f f : A -1-1-> B /\ E. g g : B -1-1-> A ) )
6		eeanv 1925	. . . 4 |- ( E. f E. g ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) <-> ( E. f f : A -1-1-> B /\ E. g g : B -1-1-> A ) )
7	5, 6	bitr4i 186	. . 3 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) <-> E. f E. g ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) )
8		sbthlem.3	. . . . . . 7 |- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
9		vex 2733	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
10	9	resex 4932	. . . . . . . 8 |- ( f |` U. D ) e. _V
11		vex 2733	. . . . . . . . . 10 |- g e. _V
12	11	cnvex 5149	. . . . . . . . 9 |- `' g e. _V
13	12	resex 4932	. . . . . . . 8 |- ( `' g |` ( A \ U. D ) ) e. _V
14	10, 13	unex 4426	. . . . . . 7 |- ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) e. _V
15	8, 14	eqeltri 2243	. . . . . 6 |- H e. _V
16		sbthlem.2	. . . . . . 7 |- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
17	3, 16, 8	sbthlemi9 6942	. . . . . 6 |- ( (EXMID /\ f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> H : A -1-1-onto-> B )
18		f1oen3g 6732	. . . . . 6 |- ( ( H e. _V /\ H : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
19	15, 17, 18	sylancr 412	. . . . 5 |- ( (EXMID /\ f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> A ~~ B )
20	19	3expib 1201	. . . 4 |- (EXMID -> ( ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> A ~~ B ) )
21	20	exlimdvv 1890	. . 3 |- (EXMID -> ( E. f E. g ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> A ~~ B ) )
22	7, 21	syl5bi 151	. 2 |- (EXMID -> ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) -> A ~~ B ) )
23	22	imp 123	1 |- ( (EXMID /\ ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) ) -> A ~~ B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   {cab 2156   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   u. cun 3119   C_ wss 3121   U.cuni 3796   class class class wbr 3989  EXMIDwem 4180   `'ccnv 4610   |` cres 4613   "cima 4614   -1-1->wf1 5195   -1-1-onto->wf1o 5197   ~~ cen 6716   ~<_ cdom 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-exmid 4181  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-en 6719  df-dom 6720

This theorem is referenced by:  isbth  6944