Theorem brdomg 6807

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	|- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Allowed substitution hint:   C( f)

Proof of Theorem brdomg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6804	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelex1i 4706	. . 3 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B -> A e. _V ) )
4		f1f 5463	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
5		fdm 5413	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
6		vex 2766	. . . . . . 7 |- f e. _V
7	6	dmex 4932	. . . . . 6 |- dom f e. _V
8	5, 7	eqeltrrdi 2288	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> A e. _V )
10	9	exlimiv 1612	. . 3 |- ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V )
11	10	a1i 9	. 2 |- ( B e. C -> ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V ) )
12		f1eq2 5459	. . . . 5 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-> y <-> f : A -1-1-> y ) )
13	12	exbidv 1839	. . . 4 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> y ) )
14		f1eq3 5460	. . . . 5 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-> y <-> f : A -1-1-> B ) )
15	14	exbidv 1839	. . . 4 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
16		df-dom 6801	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
17	13, 15, 16	brabg 4303	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. C ) -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
18	17	expcom 116	. 2 |- ( B e. C -> ( A e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) ) )
19	3, 11, 18	pm5.21ndd 706	1 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4033   dom cdm 4663   -->wf 5254   -1-1->wf1 5255   ~<_ cdom 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-dom 6801

This theorem is referenced by:  brdomi  6808  brdom  6809  f1dom2g  6815  f1domg  6817  dom3d  6833  phplem4dom  6923  djudom  7159  difinfsn  7166  djudoml  7286  djudomr  7287  nninfdc  12670