ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brdomg Unicode version

Theorem brdomg 6465
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f
Allowed substitution hint:    C( f)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6462 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelexi 4479 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
32a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V ) )
4 f1f 5216 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
5 fdm 5166 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
6 vex 2622 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
76dmex 4699 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
85, 7syl6eqelr 2179 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
94, 8syl 14 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
109exlimiv 1534 . . 3  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
1110a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e. 
_V ) )
12 f1eq2 5212 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> y ) )
1312exbidv 1753 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> y ) )
14 f1eq3 5213 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> B
) )
1514exbidv 1753 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
16 df-dom 6459 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
1713, 15, 16brabg 4096 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  C )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
1817expcom 114 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
193, 11, 18pm5.21ndd 656 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3845   dom cdm 4438   -->wf 5011   -1-1->wf1 5012    ~<_ cdom 6456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-dom 6459
This theorem is referenced by:  brdomi  6466  brdom  6467  f1dom2g  6473  f1domg  6475  dom3d  6491  phplem4dom  6578  djudom  6787
  Copyright terms: Public domain W3C validator