Theorem brdomg 6839

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	|- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Allowed substitution hint:   C( f)

Proof of Theorem brdomg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6834	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelex1i 4719	. . 3 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B -> A e. _V ) )
4		f1f 5483	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
5		fdm 5433	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
6		vex 2775	. . . . . . 7 |- f e. _V
7	6	dmex 4946	. . . . . 6 |- dom f e. _V
8	5, 7	eqeltrrdi 2297	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> A e. _V )
10	9	exlimiv 1621	. . 3 |- ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V )
11	10	a1i 9	. 2 |- ( B e. C -> ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V ) )
12		f1eq2 5479	. . . . 5 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-> y <-> f : A -1-1-> y ) )
13	12	exbidv 1848	. . . 4 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> y ) )
14		f1eq3 5480	. . . . 5 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-> y <-> f : A -1-1-> B ) )
15	14	exbidv 1848	. . . 4 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
16		df-dom 6831	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
17	13, 15, 16	brabg 4316	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. C ) -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
18	17	expcom 116	. 2 |- ( B e. C -> ( A e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) ) )
19	3, 11, 18	pm5.21ndd 707	1 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   class class class wbr 4045   dom cdm 4676   -->wf 5268   -1-1->wf1 5269   ~<_ cdom 6828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-dm 4686  df-rn 4687  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-dom 6831

This theorem is referenced by:  brdomi  6840  brdom  6841  f1dom2g  6849  f1domg  6851  dom3d  6867  phplem4dom  6961  djudom  7197  difinfsn  7204  djudoml  7333  djudomr  7334  nninfdc  12857