Theorem brdomg 6998

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	|- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Allowed substitution hint:   C( f)

Proof of Theorem brdomg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6993	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelex1i 4798	. . 3 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B -> A e. _V ) )
4		f1f 5578	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
5		fdm 5519	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
6		vex 2818	. . . . . . 7 |- f e. _V
7	6	dmex 5029	. . . . . 6 |- dom f e. _V
8	5, 7	eqeltrrdi 2326	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> A e. _V )
10	9	exlimiv 1647	. . 3 |- ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V )
11	10	a1i 9	. 2 |- ( B e. C -> ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V ) )
12		f1eq2 5574	. . . . 5 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-> y <-> f : A -1-1-> y ) )
13	12	exbidv 1874	. . . 4 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> y ) )
14		f1eq3 5575	. . . . 5 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-> y <-> f : A -1-1-> B ) )
15	14	exbidv 1874	. . . 4 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
16		df-dom 6990	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
17	13, 15, 16	brabg 4392	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. C ) -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
18	17	expcom 116	. 2 |- ( B e. C -> ( A e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) ) )
19	3, 11, 18	pm5.21ndd 713	1 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   class class class wbr 4114   dom cdm 4754   -->wf 5353   -1-1->wf1 5354   ~<_ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  brdomi  6999  brdom  7000  f1dom2g  7008  f1domg  7010  dom3d  7026  dom1o  7082  phplem4dom  7129  djudom  7397  difinfsn  7404  djudoml  7539  djudomr  7540  nninfdc  13288