ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brdomg Unicode version

Theorem brdomg 6750
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f
Allowed substitution hint:    C( f)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6747 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelex1i 4671 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
32a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V ) )
4 f1f 5423 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
5 fdm 5373 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
6 vex 2742 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
76dmex 4895 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
85, 7eqeltrrdi 2269 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
94, 8syl 14 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
109exlimiv 1598 . . 3  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
1110a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e. 
_V ) )
12 f1eq2 5419 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> y ) )
1312exbidv 1825 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> y ) )
14 f1eq3 5420 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> B
) )
1514exbidv 1825 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
16 df-dom 6744 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
1713, 15, 16brabg 4271 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  C )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
1817expcom 116 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
193, 11, 18pm5.21ndd 705 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   _Vcvv 2739   class class class wbr 4005   dom cdm 4628   -->wf 5214   -1-1->wf1 5215    ~<_ cdom 6741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-dm 4638  df-rn 4639  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-dom 6744
This theorem is referenced by:  brdomi  6751  brdom  6752  f1dom2g  6758  f1domg  6760  dom3d  6776  phplem4dom  6864  djudom  7094  difinfsn  7101  djudoml  7220  djudomr  7221  nninfdc  12456
  Copyright terms: Public domain W3C validator