Theorem brdomg 6465

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	|- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Allowed substitution hint:   C( f)

Proof of Theorem brdomg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6462	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 4479	. . 3 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B -> A e. _V ) )
4		f1f 5216	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
5		fdm 5166	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
6		vex 2622	. . . . . . 7 |- f e. _V
7	6	dmex 4699	. . . . . 6 |- dom f e. _V
8	5, 7	syl6eqelr 2179	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> A e. _V )
10	9	exlimiv 1534	. . 3 |- ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V )
11	10	a1i 9	. 2 |- ( B e. C -> ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V ) )
12		f1eq2 5212	. . . . 5 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-> y <-> f : A -1-1-> y ) )
13	12	exbidv 1753	. . . 4 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> y ) )
14		f1eq3 5213	. . . . 5 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-> y <-> f : A -1-1-> B ) )
15	14	exbidv 1753	. . . 4 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
16		df-dom 6459	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
17	13, 15, 16	brabg 4096	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. C ) -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
18	17	expcom 114	. 2 |- ( B e. C -> ( A e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) ) )
19	3, 11, 18	pm5.21ndd 656	1 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 103   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3845   dom cdm 4438   -->wf 5011   -1-1->wf1 5012   ~<_ cdom 6456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-dom 6459

This theorem is referenced by:  brdomi  6466  brdom  6467  f1dom2g  6473  f1domg  6475  dom3d  6491  phplem4dom  6578  djudom  6787