ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brdomg Unicode version

Theorem brdomg 6722
Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
brdomg  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Distinct variable groups:    A, f    B, f
Allowed substitution hint:    C( f)

Proof of Theorem brdomg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 6719 . . . 4  |-  Rel  ~<_
21brrelex1i 4652 . . 3  |-  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V )
32a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  ->  A  e.  _V ) )
4 f1f 5401 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-> B  -> 
f : A --> B )
5 fdm 5351 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
6 vex 2733 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
76dmex 4875 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
85, 7eqeltrrdi 2262 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
94, 8syl 14 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
109exlimiv 1591 . . 3  |-  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e.  _V )
1110a1i 9 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( E. f  f : A -1-1-> B  ->  A  e. 
_V ) )
12 f1eq2 5397 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> y ) )
1312exbidv 1818 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> y ) )
14 f1eq3 5398 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-> y  <-> 
f : A -1-1-> B
) )
1514exbidv 1818 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A -1-1-> y  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
16 df-dom 6716 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
1713, 15, 16brabg 4252 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  C )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
1817expcom 115 . 2  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  e.  _V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) ) )
193, 11, 18pm5.21ndd 700 1  |-  ( B  e.  C  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. f 
f : A -1-1-> B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   _Vcvv 2730   class class class wbr 3987   dom cdm 4609   -->wf 5192   -1-1->wf1 5193    ~<_ cdom 6713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-dm 4619  df-rn 4620  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-dom 6716
This theorem is referenced by:  brdomi  6723  brdom  6724  f1dom2g  6730  f1domg  6732  dom3d  6748  phplem4dom  6836  djudom  7066  difinfsn  7073  djudoml  7183  djudomr  7184  nninfdc  12395
  Copyright terms: Public domain W3C validator