Theorem cnvsng 5268

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 23-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )

Proof of Theorem cnvsng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3899	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , y >. = <. A , y >. )
2	1	sneqd 3718	. . . 4 |- ( x = A -> { <. x , y >. } = { <. A , y >. } )
3	2	cnveqd 4951	. . 3 |- ( x = A -> `' { <. x , y >. } = `' { <. A , y >. } )
4		opeq2 3900	. . . 4 |- ( x = A -> <. y , x >. = <. y , A >. )
5	4	sneqd 3718	. . 3 |- ( x = A -> { <. y , x >. } = { <. y , A >. } )
6	3, 5	eqeq12d 2253	. 2 |- ( x = A -> ( `' { <. x , y >. } = { <. y , x >. } <-> `' { <. A , y >. } = { <. y , A >. } ) )
7		opeq2 3900	. . . . 5 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
8	7	sneqd 3718	. . . 4 |- ( y = B -> { <. A , y >. } = { <. A , B >. } )
9	8	cnveqd 4951	. . 3 |- ( y = B -> `' { <. A , y >. } = `' { <. A , B >. } )
10		opeq1 3899	. . . 4 |- ( y = B -> <. y , A >. = <. B , A >. )
11	10	sneqd 3718	. . 3 |- ( y = B -> { <. y , A >. } = { <. B , A >. } )
12	9, 11	eqeq12d 2253	. 2 |- ( y = B -> ( `' { <. A , y >. } = { <. y , A >. } <-> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } ) )
13		vex 2824	. . 3 |- x e. _V
14		vex 2824	. . 3 |- y e. _V
15	13, 14	cnvsn 5265	. 2 |- `' { <. x , y >. } = { <. y , x >. }
16	6, 12, 15	vtocl2g 2887	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3705   <.cop 3708   `'ccnv 4768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777

This theorem is referenced by:  opswapg  5269  funsng  5422