Theorem cnvsng 5168

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 23-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )

Proof of Theorem cnvsng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3819	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , y >. = <. A , y >. )
2	1	sneqd 3646	. . . 4 |- ( x = A -> { <. x , y >. } = { <. A , y >. } )
3	2	cnveqd 4854	. . 3 |- ( x = A -> `' { <. x , y >. } = `' { <. A , y >. } )
4		opeq2 3820	. . . 4 |- ( x = A -> <. y , x >. = <. y , A >. )
5	4	sneqd 3646	. . 3 |- ( x = A -> { <. y , x >. } = { <. y , A >. } )
6	3, 5	eqeq12d 2220	. 2 |- ( x = A -> ( `' { <. x , y >. } = { <. y , x >. } <-> `' { <. A , y >. } = { <. y , A >. } ) )
7		opeq2 3820	. . . . 5 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
8	7	sneqd 3646	. . . 4 |- ( y = B -> { <. A , y >. } = { <. A , B >. } )
9	8	cnveqd 4854	. . 3 |- ( y = B -> `' { <. A , y >. } = `' { <. A , B >. } )
10		opeq1 3819	. . . 4 |- ( y = B -> <. y , A >. = <. B , A >. )
11	10	sneqd 3646	. . 3 |- ( y = B -> { <. y , A >. } = { <. B , A >. } )
12	9, 11	eqeq12d 2220	. 2 |- ( y = B -> ( `' { <. A , y >. } = { <. y , A >. } <-> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } ) )
13		vex 2775	. . 3 |- x e. _V
14		vex 2775	. . 3 |- y e. _V
15	13, 14	cnvsn 5165	. 2 |- `' { <. x , y >. } = { <. y , x >. }
16	6, 12, 15	vtocl2g 2837	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   {csn 3633   <.cop 3636   `'ccnv 4674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683

This theorem is referenced by:  opswapg  5169  funsng  5320