ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvsng Unicode version

Theorem cnvsng 4873
Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 23-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnvsng  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )

Proof of Theorem cnvsng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq1 3599 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  <. x ,  y >.  =  <. A ,  y >. )
21sneqd 3438 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  { <. x ,  y >. }  =  { <. A ,  y
>. } )
32cnveqd 4573 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  `' { <. x ,  y
>. }  =  `' { <. A ,  y >. } )
4 opeq2 3600 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  <. y ,  x >.  =  <. y ,  A >. )
54sneqd 3438 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  { <. y ,  x >. }  =  { <. y ,  A >. } )
63, 5eqeq12d 2099 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( `' { <. x ,  y
>. }  =  { <. y ,  x >. }  <->  `' { <. A ,  y >. }  =  { <. y ,  A >. } ) )
7 opeq2 3600 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  <. A , 
y >.  =  <. A ,  B >. )
87sneqd 3438 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  { <. A ,  y >. }  =  { <. A ,  B >. } )
98cnveqd 4573 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  `' { <. A ,  y
>. }  =  `' { <. A ,  B >. } )
10 opeq1 3599 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  <. y ,  A >.  =  <. B ,  A >. )
1110sneqd 3438 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  { <. y ,  A >. }  =  { <. B ,  A >. } )
129, 11eqeq12d 2099 . 2  |-  ( y  =  B  ->  ( `' { <. A ,  y
>. }  =  { <. y ,  A >. }  <->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } ) )
13 vex 2617 . . 3  |-  x  e. 
_V
14 vex 2617 . . 3  |-  y  e. 
_V
1513, 14cnvsn 4870 . 2  |-  `' { <. x ,  y >. }  =  { <. y ,  x >. }
166, 12, 15vtocl2g 2675 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1287    e. wcel 1436   {csn 3425   <.cop 3428   `'ccnv 4403
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-br 3815  df-opab 3869  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412
This theorem is referenced by:  opswapg  4874  funsng  5016
  Copyright terms: Public domain W3C validator