Theorem cnvsng 5187

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 23-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )

Proof of Theorem cnvsng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3833	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , y >. = <. A , y >. )
2	1	sneqd 3656	. . . 4 |- ( x = A -> { <. x , y >. } = { <. A , y >. } )
3	2	cnveqd 4872	. . 3 |- ( x = A -> `' { <. x , y >. } = `' { <. A , y >. } )
4		opeq2 3834	. . . 4 |- ( x = A -> <. y , x >. = <. y , A >. )
5	4	sneqd 3656	. . 3 |- ( x = A -> { <. y , x >. } = { <. y , A >. } )
6	3, 5	eqeq12d 2222	. 2 |- ( x = A -> ( `' { <. x , y >. } = { <. y , x >. } <-> `' { <. A , y >. } = { <. y , A >. } ) )
7		opeq2 3834	. . . . 5 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
8	7	sneqd 3656	. . . 4 |- ( y = B -> { <. A , y >. } = { <. A , B >. } )
9	8	cnveqd 4872	. . 3 |- ( y = B -> `' { <. A , y >. } = `' { <. A , B >. } )
10		opeq1 3833	. . . 4 |- ( y = B -> <. y , A >. = <. B , A >. )
11	10	sneqd 3656	. . 3 |- ( y = B -> { <. y , A >. } = { <. B , A >. } )
12	9, 11	eqeq12d 2222	. 2 |- ( y = B -> ( `' { <. A , y >. } = { <. y , A >. } <-> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } ) )
13		vex 2779	. . 3 |- x e. _V
14		vex 2779	. . 3 |- y e. _V
15	13, 14	cnvsn 5184	. 2 |- `' { <. x , y >. } = { <. y , x >. }
16	6, 12, 15	vtocl2g 2842	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {csn 3643   <.cop 3646   `'ccnv 4692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701

This theorem is referenced by:  opswapg  5188  funsng  5339