Theorem cnvsng 5229

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 23-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnvsng	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )

Proof of Theorem cnvsng

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq1 3867	. . . . 5 |- ( x = A -> <. x , y >. = <. A , y >. )
2	1	sneqd 3686	. . . 4 |- ( x = A -> { <. x , y >. } = { <. A , y >. } )
3	2	cnveqd 4912	. . 3 |- ( x = A -> `' { <. x , y >. } = `' { <. A , y >. } )
4		opeq2 3868	. . . 4 |- ( x = A -> <. y , x >. = <. y , A >. )
5	4	sneqd 3686	. . 3 |- ( x = A -> { <. y , x >. } = { <. y , A >. } )
6	3, 5	eqeq12d 2246	. 2 |- ( x = A -> ( `' { <. x , y >. } = { <. y , x >. } <-> `' { <. A , y >. } = { <. y , A >. } ) )
7		opeq2 3868	. . . . 5 |- ( y = B -> <. A , y >. = <. A , B >. )
8	7	sneqd 3686	. . . 4 |- ( y = B -> { <. A , y >. } = { <. A , B >. } )
9	8	cnveqd 4912	. . 3 |- ( y = B -> `' { <. A , y >. } = `' { <. A , B >. } )
10		opeq1 3867	. . . 4 |- ( y = B -> <. y , A >. = <. B , A >. )
11	10	sneqd 3686	. . 3 |- ( y = B -> { <. y , A >. } = { <. B , A >. } )
12	9, 11	eqeq12d 2246	. 2 |- ( y = B -> ( `' { <. A , y >. } = { <. y , A >. } <-> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } ) )
13		vex 2806	. . 3 |- x e. _V
14		vex 2806	. . 3 |- y e. _V
15	13, 14	cnvsn 5226	. 2 |- `' { <. x , y >. } = { <. y , x >. }
16	6, 12, 15	vtocl2g 2869	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> `' { <. A , B >. } = { <. B , A >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   {csn 3673   <.cop 3676   `'ccnv 4730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739

This theorem is referenced by:  opswapg  5230  funsng  5383