ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvsn GIF version

Theorem cnvsn 5021
Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 11-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnvsn.1 𝐴 ∈ V
cnvsn.2 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
cnvsn {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩}

Proof of Theorem cnvsn
StepHypRef Expression
1 cnvcnvsn 5015 . 2 {⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2 cnvsn.2 . . . 4 𝐵 ∈ V
3 cnvsn.1 . . . 4 𝐴 ∈ V
42, 3relsnop 4645 . . 3 Rel {⟨𝐵, 𝐴⟩}
5 dfrel2 4989 . . 3 (Rel {⟨𝐵, 𝐴⟩} ↔ {⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
64, 5mpbi 144 . 2 {⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩}
71, 6eqtr3i 2162 1 {⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩}
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  {csn 3527  cop 3530  ccnv 4538  Rel wrel 4544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547
This theorem is referenced by:  op2ndb  5022  cnvsng  5024  f1osn  5407
  Copyright terms: Public domain W3C validator