Theorem cnvsn 5245

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 11-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
cnvsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cnvsn	⊢ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩}

Proof of Theorem cnvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnvsn 5239	. 2 ⊢ ◡◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		cnvsn.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		cnvsn.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	2, 3	relsnop 4856	. . 3 ⊢ Rel {⟨𝐵, 𝐴⟩}
5		dfrel2 5213	. . 3 ⊢ (Rel {⟨𝐵, 𝐴⟩} ↔ ◡◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
6	4, 5	mpbi 145	. 2 ⊢ ◡◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩}
7	1, 6	eqtr3i 2255	1 ⊢ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩}

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  {csn 3689  ⟨cop 3692  ^◡ccnv 4748  Rel wrel 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757

This theorem is referenced by:  op2ndb  5246  cnvsng  5248  f1osn  5656  xnn0nnen  10799