Theorem brtpos0 6231

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 6230	. 2 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) ) )
2		ssun2 3291	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) } )
3		0ex 4116	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3614	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 3144	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) } )
6	5	biantrur 301	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) )
7		cnvsn0 5079	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 3806	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 3823	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2191	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 3996	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> (/) F A )
12	6, 11	bitr3i 185	. 2 |- ( ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) <-> (/) F A )
13	1, 12	bitrdi 195	1 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   u. cun 3119   (/)c0 3414   {csn 3583   U.cuni 3796   class class class wbr 3989   `'ccnv 4610   dom cdm 4611  tpos ctpos 6223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-fv 5206  df-tpos 6224

This theorem is referenced by:  reldmtpos  6232  tpostpos  6243