Theorem brtpos0 6157

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 6156	. 2 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) ) )
2		ssun2 3245	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) } )
3		0ex 4063	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3563	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 3099	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) } )
6	5	biantrur 301	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) )
7		cnvsn0 5015	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 3754	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 3771	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2161	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 3944	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> (/) F A )
12	6, 11	bitr3i 185	. 2 |- ( ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) <-> (/) F A )
13	1, 12	syl6bb 195	1 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   u. cun 3074   (/)c0 3368   {csn 3532   U.cuni 3744   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   dom cdm 4547  tpos ctpos 6149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139  df-tpos 6150

This theorem is referenced by:  reldmtpos  6158  tpostpos  6169