Theorem brtpos0 6340

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 6339	. 2 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) ) )
2		ssun2 3337	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) } )
3		0ex 4172	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3664	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 3190	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) } )
6	5	biantrur 303	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) )
7		cnvsn0 5152	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 3860	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 3877	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2226	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 4052	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> (/) F A )
12	6, 11	bitr3i 186	. 2 |- ( ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) <-> (/) F A )
13	1, 12	bitrdi 196	1 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2176   u. cun 3164   (/)c0 3460   {csn 3633   U.cuni 3850   class class class wbr 4045   `'ccnv 4675   dom cdm 4676  tpos ctpos 6332

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-tpos 6333

This theorem is referenced by:  reldmtpos  6341  tpostpos  6352