Theorem brtpos0 6220

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 6219	. 2 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) ) )
2		ssun2 3286	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) } )
3		0ex 4109	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3607	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 3139	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) } )
6	5	biantrur 301	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) )
7		cnvsn0 5072	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 3799	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 3816	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2186	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 3989	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> (/) F A )
12	6, 11	bitr3i 185	. 2 |- ( ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) <-> (/) F A )
13	1, 12	bitrdi 195	1 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   u. cun 3114   (/)c0 3409   {csn 3576   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   `'ccnv 4603   dom cdm 4604  tpos ctpos 6212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-fv 5196  df-tpos 6213

This theorem is referenced by:  reldmtpos  6221  tpostpos  6232