Theorem brtpos0 6253

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 6252	. 2 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) ) )
2		ssun2 3300	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) } )
3		0ex 4131	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3624	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 3153	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) } )
6	5	biantrur 303	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) )
7		cnvsn0 5098	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 3820	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 3837	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2198	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 4011	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> (/) F A )
12	6, 11	bitr3i 186	. 2 |- ( ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) <-> (/) F A )
13	1, 12	bitrdi 196	1 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2148   u. cun 3128   (/)c0 3423   {csn 3593   U.cuni 3810   class class class wbr 4004   `'ccnv 4626   dom cdm 4627  tpos ctpos 6245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-fv 5225  df-tpos 6246

This theorem is referenced by:  reldmtpos  6254  tpostpos  6265