Theorem brtpos0 6482

Description: The behavior of tpos when the left argument is the empty set (which is not an ordered pair but is the "default" value of an ordered pair when the arguments are proper classes). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
brtpos0	|- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Proof of Theorem brtpos0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brtpos2 6481	. 2 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) ) )
2		ssun2 3382	. . . . 5 |- { (/) } C_ ( `' dom F u. { (/) } )
3		0ex 4236	. . . . . 6 |- (/) e. _V
4	3	snid 3719	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
5	2, 4	sselii 3234	. . . 4 |- (/) e. ( `' dom F u. { (/) } )
6	5	biantrur 303	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) )
7		cnvsn0 5230	. . . . . 6 |- `' { (/) } = (/)
8	7	unieqi 3923	. . . . 5 |- U. `' { (/) } = U. (/)
9		uni0 3940	. . . . 5 |- U. (/) = (/)
10	8, 9	eqtri 2253	. . . 4 |- U. `' { (/) } = (/)
11	10	breq1i 4115	. . 3 |- ( U. `' { (/) } F A <-> (/) F A )
12	6, 11	bitr3i 186	. 2 |- ( ( (/) e. ( `' dom F u. { (/) } ) /\ U. `' { (/) } F A ) <-> (/) F A )
13	1, 12	bitrdi 196	1 |- ( A e. V -> ( (/)tpos F A <-> (/) F A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2203   u. cun 3208   (/)c0 3507   {csn 3688   U.cuni 3913   class class class wbr 4108   `'ccnv 4747   dom cdm 4748  tpos ctpos 6474

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-fv 5359  df-tpos 6475

This theorem is referenced by:  reldmtpos  6483  tpostpos  6494