Theorem dfdm4 4953

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	|- dom A = ran `' A

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2818	. . . . 5 |- y e. _V
2		vex 2818	. . . . 5 |- x e. _V
3	1, 2	brcnv 4943	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
4	3	exbii 1654	. . 3 |- ( E. y y `' A x <-> E. y x A y )
5	4	abbii 2350	. 2 |- { x | E. y y `' A x } = { x | E. y x A y }
6		dfrn2 4948	. 2 |- ran `' A = { x | E. y y `' A x }
7		df-dm 4764	. 2 |- dom A = { x | E. y x A y }
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2266	1 |- dom A = ran `' A

Syntax hints:   = wceq 1398   E.wex 1541   {cab 2220   class class class wbr 4114   `'ccnv 4753   dom cdm 4754   ran crn 4755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-cnv 4762  df-dm 4764  df-rn 4765

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  4986  rncnvcnv  4987  rncoeq  5036  cnvimass  5130  cnvimarndm  5131  dminxp  5212  cnvsn0  5236  rnsnopg  5246  dmmpt  5263  dmco  5276  cores2  5280  cnvssrndm  5289  cocnvres  5292  unidmrn  5300  dfdm2  5302  cnvexg  5305  funimacnv  5437  foimacnv  5637  funcocnv2  5644  fimacnv  5811  f1opw2  6269  fopwdom  7102  sbthlemi4  7243  exmidfodomrlemim  7517  hmeores  15306