Theorem dfdm4 4731

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	|- dom A = ran `' A

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2689	. . . . 5 |- y e. _V
2		vex 2689	. . . . 5 |- x e. _V
3	1, 2	brcnv 4722	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
4	3	exbii 1584	. . 3 |- ( E. y y `' A x <-> E. y x A y )
5	4	abbii 2255	. 2 |- { x | E. y y `' A x } = { x | E. y x A y }
6		dfrn2 4727	. 2 |- ran `' A = { x | E. y y `' A x }
7		df-dm 4549	. 2 |- dom A = { x | E. y x A y }
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2171	1 |- dom A = ran `' A

Syntax hints:   = wceq 1331   E.wex 1468   {cab 2125   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   ran crn 4540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  4763  rncnvcnv  4764  rncoeq  4812  cnvimass  4902  cnvimarndm  4903  dminxp  4983  cnvsn0  5007  rnsnopg  5017  dmmpt  5034  dmco  5047  cores2  5051  cnvssrndm  5060  cocnvres  5063  unidmrn  5071  dfdm2  5073  cnvexg  5076  funimacnv  5199  foimacnv  5385  funcocnv2  5392  fimacnv  5549  f1opw2  5976  fopwdom  6730  sbthlemi4  6848  exmidfodomrlemim  7057  hmeores  12484