Theorem dfdm4 4968

Description: Alternate definition of domain. (Contributed by NM, 28-Dec-1996.)

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	|- dom A = ran `' A

Proof of Theorem dfdm4

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. . . . 5 |- y e. _V
2		vex 2824	. . . . 5 |- x e. _V
3	1, 2	brcnv 4958	. . . 4 |- ( y `' A x <-> x A y )
4	3	exbii 1658	. . 3 |- ( E. y y `' A x <-> E. y x A y )
5	4	abbii 2354	. 2 |- { x | E. y y `' A x } = { x | E. y x A y }
6		dfrn2 4963	. 2 |- ran `' A = { x | E. y y `' A x }
7		df-dm 4779	. 2 |- dom A = { x | E. y x A y }
8	5, 6, 7	3eqtr4ri 2270	1 |- dom A = ran `' A

Syntax hints:   = wceq 1402   E.wex 1545   {cab 2224   class class class wbr 4125   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   ran crn 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780

This theorem is referenced by:  dmcnvcnv  5001  rncnvcnv  5002  rncoeq  5051  cnvimass  5145  cnvimarndm  5146  dminxp  5227  cnvsn0  5251  rnsnopg  5261  dmmpt  5278  dmco  5291  cores2  5295  cnvssrndm  5304  cocnvres  5307  unidmrn  5315  dfdm2  5317  cnvexg  5320  funimacnv  5452  foimacnv  5652  funcocnv2  5659  fimacnv  5828  f1opw2  6286  fopwdom  7126  sbthlemi4  7267  exmidfodomrlemim  7543  hmeores  15339