Theorem cnvss 4784

Description: Subset theorem for converse. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvss	|- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Proof of Theorem cnvss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3141	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. y , x >. e. A -> <. y , x >. e. B ) )
2		df-br 3990	. . . 4 |- ( y A x <-> <. y , x >. e. A )
3		df-br 3990	. . . 4 |- ( y B x <-> <. y , x >. e. B )
4	1, 2, 3	3imtr4g 204	. . 3 |- ( A C_ B -> ( y A x -> y B x ) )
5	4	ssopab2dv 4263	. 2 |- ( A C_ B -> { <. x , y >. | y A x } C_ { <. x , y >. | y B x } )
6		df-cnv 4619	. 2 |- `' A = { <. x , y >. | y A x }
7		df-cnv 4619	. 2 |- `' B = { <. x , y >. | y B x }
8	5, 6, 7	3sstr4g 3190	1 |- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2141   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989   {copab 4049   `'ccnv 4610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-in 3127  df-ss 3134  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619

This theorem is referenced by:  cnveq  4785  rnss  4841  relcnvtr  5130  funss  5217  funcnvuni  5267  funres11  5270  funcnvres  5271  foimacnv  5460  tposss  6225  structcnvcnv  12432  pw1nct  14036