Theorem cnvss 4720

Description: Subset theorem for converse. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvss	|- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Proof of Theorem cnvss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3096	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. y , x >. e. A -> <. y , x >. e. B ) )
2		df-br 3938	. . . 4 |- ( y A x <-> <. y , x >. e. A )
3		df-br 3938	. . . 4 |- ( y B x <-> <. y , x >. e. B )
4	1, 2, 3	3imtr4g 204	. . 3 |- ( A C_ B -> ( y A x -> y B x ) )
5	4	ssopab2dv 4208	. 2 |- ( A C_ B -> { <. x , y >. | y A x } C_ { <. x , y >. | y B x } )
6		df-cnv 4555	. 2 |- `' A = { <. x , y >. | y A x }
7		df-cnv 4555	. 2 |- `' B = { <. x , y >. | y B x }
8	5, 6, 7	3sstr4g 3145	1 |- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   C_ wss 3076   <.cop 3535   class class class wbr 3937   {copab 3996   `'ccnv 4546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-in 3082  df-ss 3089  df-br 3938  df-opab 3998  df-cnv 4555

This theorem is referenced by:  cnveq  4721  rnss  4777  relcnvtr  5066  funss  5150  funcnvuni  5200  funres11  5203  funcnvres  5204  foimacnv  5393  tposss  6151  structcnvcnv  12014  pw1nct  13371