Theorem cnvss 4777

Description: Subset theorem for converse. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvss	|- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Proof of Theorem cnvss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3136	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. y , x >. e. A -> <. y , x >. e. B ) )
2		df-br 3983	. . . 4 |- ( y A x <-> <. y , x >. e. A )
3		df-br 3983	. . . 4 |- ( y B x <-> <. y , x >. e. B )
4	1, 2, 3	3imtr4g 204	. . 3 |- ( A C_ B -> ( y A x -> y B x ) )
5	4	ssopab2dv 4256	. 2 |- ( A C_ B -> { <. x , y >. | y A x } C_ { <. x , y >. | y B x } )
6		df-cnv 4612	. 2 |- `' A = { <. x , y >. | y A x }
7		df-cnv 4612	. 2 |- `' B = { <. x , y >. | y B x }
8	5, 6, 7	3sstr4g 3185	1 |- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   {copab 4042   `'ccnv 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-in 3122  df-ss 3129  df-br 3983  df-opab 4044  df-cnv 4612

This theorem is referenced by:  cnveq  4778  rnss  4834  relcnvtr  5123  funss  5207  funcnvuni  5257  funres11  5260  funcnvres  5261  foimacnv  5450  tposss  6214  structcnvcnv  12410  pw1nct  13883