Theorem cnvss 4793

Description: Subset theorem for converse. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvss	|- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Proof of Theorem cnvss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3147	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. y , x >. e. A -> <. y , x >. e. B ) )
2		df-br 3999	. . . 4 |- ( y A x <-> <. y , x >. e. A )
3		df-br 3999	. . . 4 |- ( y B x <-> <. y , x >. e. B )
4	1, 2, 3	3imtr4g 205	. . 3 |- ( A C_ B -> ( y A x -> y B x ) )
5	4	ssopab2dv 4272	. 2 |- ( A C_ B -> { <. x , y >. | y A x } C_ { <. x , y >. | y B x } )
6		df-cnv 4628	. 2 |- `' A = { <. x , y >. | y A x }
7		df-cnv 4628	. 2 |- `' B = { <. x , y >. | y B x }
8	5, 6, 7	3sstr4g 3196	1 |- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2146   C_ wss 3127   <.cop 3592   class class class wbr 3998   {copab 4058   `'ccnv 4619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-in 3133  df-ss 3140  df-br 3999  df-opab 4060  df-cnv 4628

This theorem is referenced by:  cnveq  4794  rnss  4850  relcnvtr  5140  funss  5227  funcnvuni  5277  funres11  5280  funcnvres  5281  foimacnv  5471  tposss  6237  structcnvcnv  12443  pw1nct  14293