Theorem cnvss 4953

Description: Subset theorem for converse. (Contributed by NM, 22-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
cnvss	|- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

Proof of Theorem cnvss

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3242	. . . 4 |- ( A C_ B -> ( <. y , x >. e. A -> <. y , x >. e. B ) )
2		df-br 4131	. . . 4 |- ( y A x <-> <. y , x >. e. A )
3		df-br 4131	. . . 4 |- ( y B x <-> <. y , x >. e. B )
4	1, 2, 3	3imtr4g 205	. . 3 |- ( A C_ B -> ( y A x -> y B x ) )
5	4	ssopab2dv 4421	. 2 |- ( A C_ B -> { <. x , y >. | y A x } C_ { <. x , y >. | y B x } )
6		df-cnv 4782	. 2 |- `' A = { <. x , y >. | y A x }
7		df-cnv 4782	. 2 |- `' B = { <. x , y >. | y B x }
8	5, 6, 7	3sstr4g 3291	1 |- ( A C_ B -> `' A C_ `' B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   <.cop 3712   class class class wbr 4130   {copab 4191   `'ccnv 4773

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-in 3226  df-ss 3233  df-br 4131  df-opab 4193  df-cnv 4782

This theorem is used by:  cnveq  4954  rnss  5012  relcnvtr  5307  funss  5396  funcnvuni  5450  funres11  5453  funcnvres  5454  foimacnv  5657  tposss  6517  structcnvcnv  13368  pw1nct  17033