Theorem tposss 6455

Description: Subset theorem for transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposss	|- ( F C_ G -> tpos F C_ tpos G )

Proof of Theorem tposss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1 4891	. . 3 |- ( F C_ G -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
2		dmss 4936	. . . . . 6 |- ( F C_ G -> dom F C_ dom G )
3		cnvss 4909	. . . . . 6 |- ( dom F C_ dom G -> `' dom F C_ `' dom G )
4		unss1 3378	. . . . . 6 |- ( `' dom F C_ `' dom G -> ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( `' dom G u. { (/) } ) )
5		resmpt 5067	. . . . . 6 |- ( ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( `' dom G u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
6	2, 3, 4, 5	4syl 18	. . . . 5 |- ( F C_ G -> ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7		resss 5043	. . . . 5 |- ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
8	6, 7	eqsstrrdi 3281	. . . 4 |- ( F C_ G -> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
9		coss2 4892	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( F C_ G -> ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
11	1, 10	sstrd 3238	. 2 |- ( F C_ G -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
12		df-tpos 6454	. 2 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
13		df-tpos 6454	. 2 |- tpos G = ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
14	11, 12, 13	3sstr4g 3271	1 |- ( F C_ G -> tpos F C_ tpos G )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   u. cun 3199   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   U.cuni 3898   |-> cmpt 4155   `'ccnv 4730   dom cdm 4731   |` cres 4733   o. ccom 4735  tpos ctpos 6453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-res 4743  df-tpos 6454

This theorem is referenced by:  tposeq  6456