Theorem tposss 6355

Description: Subset theorem for transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposss	|- ( F C_ G -> tpos F C_ tpos G )

Proof of Theorem tposss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1 4851	. . 3 |- ( F C_ G -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
2		dmss 4896	. . . . . 6 |- ( F C_ G -> dom F C_ dom G )
3		cnvss 4869	. . . . . 6 |- ( dom F C_ dom G -> `' dom F C_ `' dom G )
4		unss1 3350	. . . . . 6 |- ( `' dom F C_ `' dom G -> ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( `' dom G u. { (/) } ) )
5		resmpt 5026	. . . . . 6 |- ( ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( `' dom G u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
6	2, 3, 4, 5	4syl 18	. . . . 5 |- ( F C_ G -> ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7		resss 5002	. . . . 5 |- ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
8	6, 7	eqsstrrdi 3254	. . . 4 |- ( F C_ G -> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
9		coss2 4852	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( F C_ G -> ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
11	1, 10	sstrd 3211	. 2 |- ( F C_ G -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
12		df-tpos 6354	. 2 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
13		df-tpos 6354	. 2 |- tpos G = ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
14	11, 12, 13	3sstr4g 3244	1 |- ( F C_ G -> tpos F C_ tpos G )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   u. cun 3172   C_ wss 3174   (/)c0 3468   {csn 3643   U.cuni 3864   |-> cmpt 4121   `'ccnv 4692   dom cdm 4693   |` cres 4695   o. ccom 4697  tpos ctpos 6353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-res 4705  df-tpos 6354

This theorem is referenced by:  tposeq  6356