Theorem tposss 6143

Description: Subset theorem for transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposss	|- ( F C_ G -> tpos F C_ tpos G )

Proof of Theorem tposss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1 4694	. . 3 |- ( F C_ G -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
2		dmss 4738	. . . . . 6 |- ( F C_ G -> dom F C_ dom G )
3		cnvss 4712	. . . . . 6 |- ( dom F C_ dom G -> `' dom F C_ `' dom G )
4		unss1 3245	. . . . . 6 |- ( `' dom F C_ `' dom G -> ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( `' dom G u. { (/) } ) )
5		resmpt 4867	. . . . . 6 |- ( ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( `' dom G u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
6	2, 3, 4, 5	4syl 18	. . . . 5 |- ( F C_ G -> ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7		resss 4843	. . . . 5 |- ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
8	6, 7	eqsstrrdi 3150	. . . 4 |- ( F C_ G -> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
9		coss2 4695	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( F C_ G -> ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
11	1, 10	sstrd 3107	. 2 |- ( F C_ G -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
12		df-tpos 6142	. 2 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
13		df-tpos 6142	. 2 |- tpos G = ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
14	11, 12, 13	3sstr4g 3140	1 |- ( F C_ G -> tpos F C_ tpos G )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   u. cun 3069   C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   U.cuni 3736   |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   |` cres 4541   o. ccom 4543  tpos ctpos 6141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-res 4551  df-tpos 6142

This theorem is referenced by:  tposeq  6144