ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposss Unicode version

Theorem tposss 6011
Description: Subset theorem for transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
tposss  |-  ( F 
C_  G  -> tpos  F  C_ tpos  G )

Proof of Theorem tposss
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coss1 4591 . . 3  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
2 dmss 4635 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  G  ->  dom  F 
C_  dom  G )
3 cnvss 4609 . . . . . 6  |-  ( dom 
F  C_  dom  G  ->  `' dom  F  C_  `' dom  G )
4 unss1 3169 . . . . . 6  |-  ( `' dom  F  C_  `' dom  G  ->  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  C_  ( `' dom  G  u.  { (/) } ) )
5 resmpt 4760 . . . . . 6  |-  ( ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  C_  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  ->  (
( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
62, 3, 4, 54syl 18 . . . . 5  |-  ( F 
C_  G  ->  (
( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) )  =  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
7 resss 4737 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } )  |`  ( `' dom  F  u.  { (/) } ) ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )
86, 7syl6eqssr 3077 . . . 4  |-  ( F 
C_  G  ->  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )
9 coss2 4592 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) 
C_  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } )  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( F 
C_  G  ->  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
111, 10sstrd 3035 . 2  |-  ( F 
C_  G  ->  ( F  o.  ( x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/) } )  |->  U. `' { x } ) )  C_  ( G  o.  ( x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) ) )
12 df-tpos 6010 . 2  |- tpos  F  =  ( F  o.  (
x  e.  ( `' dom  F  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
13 df-tpos 6010 . 2  |- tpos  G  =  ( G  o.  (
x  e.  ( `' dom  G  u.  { (/)
} )  |->  U. `' { x } ) )
1411, 12, 133sstr4g 3067 1  |-  ( F 
C_  G  -> tpos  F  C_ tpos  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1289    u. cun 2997    C_ wss 2999   (/)c0 3286   {csn 3446   U.cuni 3653    |-> cmpt 3899   `'ccnv 4437   dom cdm 4438    |` cres 4440    o. ccom 4442  tpos ctpos 6009
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-res 4450  df-tpos 6010
This theorem is referenced by:  tposeq  6012
  Copyright terms: Public domain W3C validator