Theorem tposss 6225

Description: Subset theorem for transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposss	|- ( F C_ G -> tpos F C_ tpos G )

Proof of Theorem tposss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1 4766	. . 3 |- ( F C_ G -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
2		dmss 4810	. . . . . 6 |- ( F C_ G -> dom F C_ dom G )
3		cnvss 4784	. . . . . 6 |- ( dom F C_ dom G -> `' dom F C_ `' dom G )
4		unss1 3296	. . . . . 6 |- ( `' dom F C_ `' dom G -> ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( `' dom G u. { (/) } ) )
5		resmpt 4939	. . . . . 6 |- ( ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( `' dom G u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
6	2, 3, 4, 5	4syl 18	. . . . 5 |- ( F C_ G -> ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7		resss 4915	. . . . 5 |- ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
8	6, 7	eqsstrrdi 3200	. . . 4 |- ( F C_ G -> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
9		coss2 4767	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( F C_ G -> ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
11	1, 10	sstrd 3157	. 2 |- ( F C_ G -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
12		df-tpos 6224	. 2 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
13		df-tpos 6224	. 2 |- tpos G = ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
14	11, 12, 13	3sstr4g 3190	1 |- ( F C_ G -> tpos F C_ tpos G )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   U.cuni 3796   |-> cmpt 4050   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   |` cres 4613   o. ccom 4615  tpos ctpos 6223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-res 4623  df-tpos 6224

This theorem is referenced by:  tposeq  6226