Theorem tposss 6411

Description: Subset theorem for transposition. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tposss	|- ( F C_ G -> tpos F C_ tpos G )

Proof of Theorem tposss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coss1 4885	. . 3 |- ( F C_ G -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
2		dmss 4930	. . . . . 6 |- ( F C_ G -> dom F C_ dom G )
3		cnvss 4903	. . . . . 6 |- ( dom F C_ dom G -> `' dom F C_ `' dom G )
4		unss1 3376	. . . . . 6 |- ( `' dom F C_ `' dom G -> ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( `' dom G u. { (/) } ) )
5		resmpt 5061	. . . . . 6 |- ( ( `' dom F u. { (/) } ) C_ ( `' dom G u. { (/) } ) -> ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
6	2, 3, 4, 5	4syl 18	. . . . 5 |- ( F C_ G -> ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) = ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
7		resss 5037	. . . . 5 |- ( ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) |` ( `' dom F u. { (/) } ) ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } )
8	6, 7	eqsstrrdi 3280	. . . 4 |- ( F C_ G -> ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
9		coss2 4886	. . . 4 |- ( ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) C_ ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) -> ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( F C_ G -> ( G o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
11	1, 10	sstrd 3237	. 2 |- ( F C_ G -> ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) C_ ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) ) )
12		df-tpos 6410	. 2 |- tpos F = ( F o. ( x e. ( `' dom F u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
13		df-tpos 6410	. 2 |- tpos G = ( G o. ( x e. ( `' dom G u. { (/) } ) |-> U. `' { x } ) )
14	11, 12, 13	3sstr4g 3270	1 |- ( F C_ G -> tpos F C_ tpos G )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   u. cun 3198   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   U.cuni 3893   |-> cmpt 4150   `'ccnv 4724   dom cdm 4725   |` cres 4727   o. ccom 4729  tpos ctpos 6409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-res 4737  df-tpos 6410

This theorem is referenced by:  tposeq  6412