ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  structcnvcnv Unicode version

Theorem structcnvcnv 11989
Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
structcnvcnv  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  =  ( F  \  { (/) } ) )

Proof of Theorem structcnvcnv
StepHypRef Expression
1 0nelxp 4567 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
2 cnvcnv 4991 . . . . . . . 8  |-  `' `' F  =  ( F  i^i  ( _V  X.  _V ) )
3 inss2 3297 . . . . . . . 8  |-  ( F  i^i  ( _V  X.  _V ) )  C_  ( _V  X.  _V )
42, 3eqsstri 3129 . . . . . . 7  |-  `' `' F  C_  ( _V  X.  _V )
54sseli 3093 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  `' `' F  ->  (/)  e.  ( _V  X.  _V )
)
61, 5mto 651 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  `' `' F
7 disjsn 3585 . . . . 5  |-  ( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  `' `' F )
86, 7mpbir 145 . . . 4  |-  ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)
9 cnvcnvss 4993 . . . . 5  |-  `' `' F  C_  F
10 reldisj 3414 . . . . 5  |-  ( `' `' F  C_  F  -> 
( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  `' `' F  C_  ( F 
\  { (/) } ) ) )
119, 10ax-mp 5 . . . 4  |-  ( ( `' `' F  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  `' `' F  C_  ( F  \  { (/) } ) )
128, 11mpbi 144 . . 3  |-  `' `' F  C_  ( F  \  { (/) } )
1312a1i 9 . 2  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  C_  ( F  \  { (/)
} ) )
14 structn0fun 11986 . . . . 5  |-  ( F Struct  X  ->  Fun  ( F  \  { (/) } ) )
15 funrel 5140 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  \  { (/)
} )  ->  Rel  ( F  \  { (/) } ) )
1614, 15syl 14 . . . 4  |-  ( F Struct  X  ->  Rel  ( F  \  { (/) } ) )
17 dfrel2 4989 . . . 4  |-  ( Rel  ( F  \  { (/)
} )  <->  `' `' ( F  \  { (/) } )  =  ( F 
\  { (/) } ) )
1816, 17sylib 121 . . 3  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  =  ( F 
\  { (/) } ) )
19 difss 3202 . . . 4  |-  ( F 
\  { (/) } ) 
C_  F
20 cnvss 4712 . . . 4  |-  ( ( F  \  { (/) } )  C_  F  ->  `' ( F  \  { (/)
} )  C_  `' F )
21 cnvss 4712 . . . 4  |-  ( `' ( F  \  { (/)
} )  C_  `' F  ->  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2219, 20, 21mp2b 8 . . 3  |-  `' `' ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F
2318, 22eqsstrrdi 3150 . 2  |-  ( F Struct  X  ->  ( F  \  { (/) } )  C_  `' `' F )
2413, 23eqssd 3114 1  |-  ( F Struct  X  ->  `' `' F  =  ( F  \  { (/) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   _Vcvv 2686    \ cdif 3068    i^i cin 3070    C_ wss 3071   (/)c0 3363   {csn 3527   class class class wbr 3929    X. cxp 4537   `'ccnv 4538   Rel wrel 4544   Fun wfun 5117   Struct cstr 11969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-struct 11975
This theorem is referenced by:  structfung  11990
  Copyright terms: Public domain W3C validator