Theorem structcnvcnv 12410

Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
structcnvcnv	|- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )

Proof of Theorem structcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4632	. . . . . 6 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		cnvcnv 5056	. . . . . . . 8 |- `' `' F = ( F i^i ( _V X. _V ) )
3		inss2 3343	. . . . . . . 8 |- ( F i^i ( _V X. _V ) ) C_ ( _V X. _V )
4	2, 3	eqsstri 3174	. . . . . . 7 |- `' `' F C_ ( _V X. _V )
5	4	sseli 3138	. . . . . 6 |- ( (/) e. `' `' F -> (/) e. ( _V X. _V ) )
6	1, 5	mto 652	. . . . 5 |- -. (/) e. `' `' F
7		disjsn 3638	. . . . 5 |- ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. `' `' F )
8	6, 7	mpbir 145	. . . 4 |- ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/)
9		cnvcnvss 5058	. . . . 5 |- `' `' F C_ F
10		reldisj 3460	. . . . 5 |- ( `' `' F C_ F -> ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) )
12	8, 11	mpbi 144	. . 3 |- `' `' F C_ ( F \ { (/) } )
13	12	a1i 9	. 2 |- ( F Struct X -> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) )
14		structn0fun 12407	. . . . 5 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )
15		funrel 5205	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) -> Rel ( F \ { (/) } ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( F Struct X -> Rel ( F \ { (/) } ) )
17		dfrel2 5054	. . . 4 |- ( Rel ( F \ { (/) } ) <-> `' `' ( F \ { (/) } ) = ( F \ { (/) } ) )
18	16, 17	sylib 121	. . 3 |- ( F Struct X -> `' `' ( F \ { (/) } ) = ( F \ { (/) } ) )
19		difss 3248	. . . 4 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
20		cnvss 4777	. . . 4 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> `' ( F \ { (/) } ) C_ `' F )
21		cnvss 4777	. . . 4 |- ( `' ( F \ { (/) } ) C_ `' F -> `' `' ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F )
22	19, 20, 21	mp2b 8	. . 3 |- `' `' ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F
23	18, 22	eqsstrrdi 3195	. 2 |- ( F Struct X -> ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F )
24	13, 23	eqssd 3159	1 |- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   \ cdif 3113   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   {csn 3576   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   Rel wrel 4609   Fun wfun 5182   Struct cstr 12390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-struct 12396

This theorem is referenced by:  structfung  12411