Theorem structcnvcnv 13088

Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
structcnvcnv	|- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )

Proof of Theorem structcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4751	. . . . . 6 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		cnvcnv 5187	. . . . . . . 8 |- `' `' F = ( F i^i ( _V X. _V ) )
3		inss2 3426	. . . . . . . 8 |- ( F i^i ( _V X. _V ) ) C_ ( _V X. _V )
4	2, 3	eqsstri 3257	. . . . . . 7 |- `' `' F C_ ( _V X. _V )
5	4	sseli 3221	. . . . . 6 |- ( (/) e. `' `' F -> (/) e. ( _V X. _V ) )
6	1, 5	mto 666	. . . . 5 |- -. (/) e. `' `' F
7		disjsn 3729	. . . . 5 |- ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. `' `' F )
8	6, 7	mpbir 146	. . . 4 |- ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/)
9		cnvcnvss 5189	. . . . 5 |- `' `' F C_ F
10		reldisj 3544	. . . . 5 |- ( `' `' F C_ F -> ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) )
12	8, 11	mpbi 145	. . 3 |- `' `' F C_ ( F \ { (/) } )
13	12	a1i 9	. 2 |- ( F Struct X -> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) )
14		structn0fun 13085	. . . . 5 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )
15		funrel 5341	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) -> Rel ( F \ { (/) } ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( F Struct X -> Rel ( F \ { (/) } ) )
17		dfrel2 5185	. . . 4 |- ( Rel ( F \ { (/) } ) <-> `' `' ( F \ { (/) } ) = ( F \ { (/) } ) )
18	16, 17	sylib 122	. . 3 |- ( F Struct X -> `' `' ( F \ { (/) } ) = ( F \ { (/) } ) )
19		difss 3331	. . . 4 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
20		cnvss 4901	. . . 4 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> `' ( F \ { (/) } ) C_ `' F )
21		cnvss 4901	. . . 4 |- ( `' ( F \ { (/) } ) C_ `' F -> `' `' ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F )
22	19, 20, 21	mp2b 8	. . 3 |- `' `' ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F
23	18, 22	eqsstrrdi 3278	. 2 |- ( F Struct X -> ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F )
24	13, 23	eqssd 3242	1 |- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2800   \ cdif 3195   i^i cin 3197   C_ wss 3198   (/)c0 3492   {csn 3667   class class class wbr 4086   X. cxp 4721   `'ccnv 4722   Rel wrel 4728   Fun wfun 5318   Struct cstr 13068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-struct 13074

This theorem is referenced by:  structfung  13089