Theorem structcnvcnv 12719

Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
structcnvcnv	|- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )

Proof of Theorem structcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4692	. . . . . 6 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		cnvcnv 5123	. . . . . . . 8 |- `' `' F = ( F i^i ( _V X. _V ) )
3		inss2 3385	. . . . . . . 8 |- ( F i^i ( _V X. _V ) ) C_ ( _V X. _V )
4	2, 3	eqsstri 3216	. . . . . . 7 |- `' `' F C_ ( _V X. _V )
5	4	sseli 3180	. . . . . 6 |- ( (/) e. `' `' F -> (/) e. ( _V X. _V ) )
6	1, 5	mto 663	. . . . 5 |- -. (/) e. `' `' F
7		disjsn 3685	. . . . 5 |- ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. `' `' F )
8	6, 7	mpbir 146	. . . 4 |- ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/)
9		cnvcnvss 5125	. . . . 5 |- `' `' F C_ F
10		reldisj 3503	. . . . 5 |- ( `' `' F C_ F -> ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) )
12	8, 11	mpbi 145	. . 3 |- `' `' F C_ ( F \ { (/) } )
13	12	a1i 9	. 2 |- ( F Struct X -> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) )
14		structn0fun 12716	. . . . 5 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )
15		funrel 5276	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) -> Rel ( F \ { (/) } ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( F Struct X -> Rel ( F \ { (/) } ) )
17		dfrel2 5121	. . . 4 |- ( Rel ( F \ { (/) } ) <-> `' `' ( F \ { (/) } ) = ( F \ { (/) } ) )
18	16, 17	sylib 122	. . 3 |- ( F Struct X -> `' `' ( F \ { (/) } ) = ( F \ { (/) } ) )
19		difss 3290	. . . 4 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
20		cnvss 4840	. . . 4 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> `' ( F \ { (/) } ) C_ `' F )
21		cnvss 4840	. . . 4 |- ( `' ( F \ { (/) } ) C_ `' F -> `' `' ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F )
22	19, 20, 21	mp2b 8	. . 3 |- `' `' ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F
23	18, 22	eqsstrrdi 3237	. 2 |- ( F Struct X -> ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F )
24	13, 23	eqssd 3201	1 |- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   \ cdif 3154   i^i cin 3156   C_ wss 3157   (/)c0 3451   {csn 3623   class class class wbr 4034   X. cxp 4662   `'ccnv 4663   Rel wrel 4669   Fun wfun 5253   Struct cstr 12699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-struct 12705

This theorem is referenced by:  structfung  12720