Theorem structcnvcnv 12432

Description: Two ways to express the relational part of a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
structcnvcnv	|- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )

Proof of Theorem structcnvcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nelxp 4639	. . . . . 6 |- -. (/) e. ( _V X. _V )
2		cnvcnv 5063	. . . . . . . 8 |- `' `' F = ( F i^i ( _V X. _V ) )
3		inss2 3348	. . . . . . . 8 |- ( F i^i ( _V X. _V ) ) C_ ( _V X. _V )
4	2, 3	eqsstri 3179	. . . . . . 7 |- `' `' F C_ ( _V X. _V )
5	4	sseli 3143	. . . . . 6 |- ( (/) e. `' `' F -> (/) e. ( _V X. _V ) )
6	1, 5	mto 657	. . . . 5 |- -. (/) e. `' `' F
7		disjsn 3645	. . . . 5 |- ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> -. (/) e. `' `' F )
8	6, 7	mpbir 145	. . . 4 |- ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/)
9		cnvcnvss 5065	. . . . 5 |- `' `' F C_ F
10		reldisj 3466	. . . . 5 |- ( `' `' F C_ F -> ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) ) )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . 4 |- ( ( `' `' F i^i { (/) } ) = (/) <-> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) )
12	8, 11	mpbi 144	. . 3 |- `' `' F C_ ( F \ { (/) } )
13	12	a1i 9	. 2 |- ( F Struct X -> `' `' F C_ ( F \ { (/) } ) )
14		structn0fun 12429	. . . . 5 |- ( F Struct X -> Fun ( F \ { (/) } ) )
15		funrel 5215	. . . . 5 |- ( Fun ( F \ { (/) } ) -> Rel ( F \ { (/) } ) )
16	14, 15	syl 14	. . . 4 |- ( F Struct X -> Rel ( F \ { (/) } ) )
17		dfrel2 5061	. . . 4 |- ( Rel ( F \ { (/) } ) <-> `' `' ( F \ { (/) } ) = ( F \ { (/) } ) )
18	16, 17	sylib 121	. . 3 |- ( F Struct X -> `' `' ( F \ { (/) } ) = ( F \ { (/) } ) )
19		difss 3253	. . . 4 |- ( F \ { (/) } ) C_ F
20		cnvss 4784	. . . 4 |- ( ( F \ { (/) } ) C_ F -> `' ( F \ { (/) } ) C_ `' F )
21		cnvss 4784	. . . 4 |- ( `' ( F \ { (/) } ) C_ `' F -> `' `' ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F )
22	19, 20, 21	mp2b 8	. . 3 |- `' `' ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F
23	18, 22	eqsstrrdi 3200	. 2 |- ( F Struct X -> ( F \ { (/) } ) C_ `' `' F )
24	13, 23	eqssd 3164	1 |- ( F Struct X -> `' `' F = ( F \ { (/) } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   \ cdif 3118   i^i cin 3120   C_ wss 3121   (/)c0 3414   {csn 3583   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   `'ccnv 4610   Rel wrel 4616   Fun wfun 5192   Struct cstr 12412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-struct 12418

This theorem is referenced by:  structfung  12433