Theorem opelco 4792

Description: Ordered pair membership in a composition. (Contributed by NM, 27-Dec-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelco.1	|- A e. _V
opelco.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opelco	|- ( <. A , B >. e. ( C o. D ) <-> E. x ( A D x /\ x C B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, D

Proof of Theorem opelco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 3999	. 2 |- ( A ( C o. D ) B <-> <. A , B >. e. ( C o. D ) )
2		opelco.1	. . 3 |- A e. _V
3		opelco.2	. . 3 |- B e. _V
4	2, 3	brco 4791	. 2 |- ( A ( C o. D ) B <-> E. x ( A D x /\ x C B ) )
5	1, 4	bitr3i 186	1 |- ( <. A , B >. e. ( C o. D ) <-> E. x ( A D x /\ x C B ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   E.wex 1490   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   <.cop 3592   class class class wbr 3998   o. ccom 4624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-br 3999  df-opab 4060  df-co 4629

This theorem is referenced by:  dmcoss  4889  dmcosseq  4891  cotr  5002  coiun  5130  co02  5134  coi1  5136  coass  5139  fmptco  5674  dftpos4  6254