Theorem funcnvuni 5200

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of single-rooted sets is single-rooted. (See funcnv 5192 for "single-rooted" definition.) (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvuni	|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun `' U. A )

Distinct variable group:   f, g, A

Proof of Theorem funcnvuni

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4721	. . . . . . . 8 |- ( x = v -> `' x = `' v )
2	1	eqeq2d 2152	. . . . . . 7 |- ( x = v -> ( z = `' x <-> z = `' v ) )
3	2	cbvrexv 2658	. . . . . 6 |- ( E. x e. A z = `' x <-> E. v e. A z = `' v )
4		cnveq 4721	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = v -> `' f = `' v )
5	4	funeqd 5153	. . . . . . . . . 10 |- ( f = v -> ( Fun `' f <-> Fun `' v ) )
6		sseq1 3125	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = v -> ( f C_ g <-> v C_ g ) )
7		sseq2 3126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = v -> ( g C_ f <-> g C_ v ) )
8	6, 7	orbi12d 783	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = v -> ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( v C_ g \/ g C_ v ) ) )
9	8	ralbidv 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( f = v -> ( A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) )
10	5, 9	anbi12d 465	. . . . . . . . 9 |- ( f = v -> ( ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) ) )
11	10	rspcv 2789	. . . . . . . 8 |- ( v e. A -> ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) ) )
12		funeq 5151	. . . . . . . . . 10 |- ( z = `' v -> ( Fun z <-> Fun `' v ) )
13	12	biimprcd 159	. . . . . . . . 9 |- ( Fun `' v -> ( z = `' v -> Fun z ) )
14		sseq2 3126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = x -> ( v C_ g <-> v C_ x ) )
15		sseq1 3125	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = x -> ( g C_ v <-> x C_ v ) )
16	14, 15	orbi12d 783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = x -> ( ( v C_ g \/ g C_ v ) <-> ( v C_ x \/ x C_ v ) ) )
17	16	rspcv 2789	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( v C_ x \/ x C_ v ) ) )
18		cnvss 4720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v C_ x -> `' v C_ `' x )
19		cnvss 4720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ v -> `' x C_ `' v )
20	18, 19	orim12i 749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( `' v C_ `' x \/ `' x C_ `' v ) )
21		sseq12 3127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = `' v /\ w = `' x ) -> ( z C_ w <-> `' v C_ `' x ) )
22	21	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( z C_ w <-> `' v C_ `' x ) )
23		sseq12 3127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( w C_ z <-> `' x C_ `' v ) )
24	22, 23	orbi12d 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( ( z C_ w \/ w C_ z ) <-> ( `' v C_ `' x \/ `' x C_ `' v ) ) )
25	20, 24	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
26	25	expd 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
27	17, 26	syl6com 35	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( x e. A -> ( w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
28	27	rexlimdv 2551	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( E. x e. A w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
29	28	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( z = `' v -> ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
30	29	alrimdv 1849	. . . . . . . . 9 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( z = `' v -> A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
31	13, 30	anim12ii 341	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) -> ( z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
32	11, 31	syl6com 35	. . . . . . 7 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( v e. A -> ( z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) ) )
33	32	rexlimdv 2551	. . . . . 6 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( E. v e. A z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
34	3, 33	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
35	34	alrimiv 1847	. . . 4 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
36		df-ral 2422	. . . . 5 |- ( A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
37		vex 2692	. . . . . . . 8 |- z e. _V
38		eqeq1 2147	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y = `' x <-> z = `' x ) )
39	38	rexbidv 2439	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = `' x <-> E. x e. A z = `' x ) )
40	37, 39	elab 2832	. . . . . . 7 |- ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } <-> E. x e. A z = `' x )
41		eqeq1 2147	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y = `' x <-> w = `' x ) )
42	41	rexbidv 2439	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( E. x e. A y = `' x <-> E. x e. A w = `' x ) )
43	42	ralab 2848	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) <-> A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
44	43	anbi2i 453	. . . . . . 7 |- ( ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) <-> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
45	40, 44	imbi12i 238	. . . . . 6 |- ( ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) <-> ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
46	45	albii 1447	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) <-> A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
47	36, 46	bitr2i 184	. . . 4 |- ( A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) <-> A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
48	35, 47	sylib 121	. . 3 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
49		fununi 5199	. . 3 |- ( A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) -> Fun U. { y | E. x e. A y = `' x } )
50	48, 49	syl 14	. 2 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. { y | E. x e. A y = `' x } )
51		cnvuni 4733	. . . 4 |- `' U. A = U_ x e. A `' x
52		vex 2692	. . . . . 6 |- x e. _V
53	52	cnvex 5085	. . . . 5 |- `' x e. _V
54	53	dfiun2 3855	. . . 4 |- U_ x e. A `' x = U. { y | E. x e. A y = `' x }
55	51, 54	eqtri 2161	. . 3 |- `' U. A = U. { y | E. x e. A y = `' x }
56	55	funeqi 5152	. 2 |- ( Fun `' U. A <-> Fun U. { y | E. x e. A y = `' x } )
57	50, 56	sylibr 133	1 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun `' U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   C_ wss 3076   U.cuni 3744   U_ciun 3821   `'ccnv 4546   Fun wfun 5125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133

This theorem is referenced by:  fun11uni  5201