Theorem funcnvuni 5267

Description: The union of a chain (with respect to inclusion) of single-rooted sets is single-rooted. (See funcnv 5259 for "single-rooted" definition.) (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
funcnvuni	|- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun `' U. A )

Distinct variable group:   f, g, A

Proof of Theorem funcnvuni

Dummy variables x y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnveq 4785	. . . . . . . 8 |- ( x = v -> `' x = `' v )
2	1	eqeq2d 2182	. . . . . . 7 |- ( x = v -> ( z = `' x <-> z = `' v ) )
3	2	cbvrexv 2697	. . . . . 6 |- ( E. x e. A z = `' x <-> E. v e. A z = `' v )
4		cnveq 4785	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = v -> `' f = `' v )
5	4	funeqd 5220	. . . . . . . . . 10 |- ( f = v -> ( Fun `' f <-> Fun `' v ) )
6		sseq1 3170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = v -> ( f C_ g <-> v C_ g ) )
7		sseq2 3171	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = v -> ( g C_ f <-> g C_ v ) )
8	6, 7	orbi12d 788	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = v -> ( ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> ( v C_ g \/ g C_ v ) ) )
9	8	ralbidv 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( f = v -> ( A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) <-> A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) )
10	5, 9	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 |- ( f = v -> ( ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) <-> ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) ) )
11	10	rspcv 2830	. . . . . . . 8 |- ( v e. A -> ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) ) )
12		funeq 5218	. . . . . . . . . 10 |- ( z = `' v -> ( Fun z <-> Fun `' v ) )
13	12	biimprcd 159	. . . . . . . . 9 |- ( Fun `' v -> ( z = `' v -> Fun z ) )
14		sseq2 3171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = x -> ( v C_ g <-> v C_ x ) )
15		sseq1 3170	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = x -> ( g C_ v <-> x C_ v ) )
16	14, 15	orbi12d 788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = x -> ( ( v C_ g \/ g C_ v ) <-> ( v C_ x \/ x C_ v ) ) )
17	16	rspcv 2830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( v C_ x \/ x C_ v ) ) )
18		cnvss 4784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v C_ x -> `' v C_ `' x )
19		cnvss 4784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x C_ v -> `' x C_ `' v )
20	18, 19	orim12i 754	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( `' v C_ `' x \/ `' x C_ `' v ) )
21		sseq12 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z = `' v /\ w = `' x ) -> ( z C_ w <-> `' v C_ `' x ) )
22	21	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( z C_ w <-> `' v C_ `' x ) )
23		sseq12 3172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( w C_ z <-> `' x C_ `' v ) )
24	22, 23	orbi12d 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( ( z C_ w \/ w C_ z ) <-> ( `' v C_ `' x \/ `' x C_ `' v ) ) )
25	20, 24	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( ( w = `' x /\ z = `' v ) -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
26	25	expd 256	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( v C_ x \/ x C_ v ) -> ( w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
27	17, 26	syl6com 35	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( x e. A -> ( w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
28	27	rexlimdv 2586	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( E. x e. A w = `' x -> ( z = `' v -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
29	28	com23 78	. . . . . . . . . 10 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( z = `' v -> ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
30	29	alrimdv 1869	. . . . . . . . 9 |- ( A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) -> ( z = `' v -> A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
31	13, 30	anim12ii 341	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun `' v /\ A. g e. A ( v C_ g \/ g C_ v ) ) -> ( z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
32	11, 31	syl6com 35	. . . . . . 7 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( v e. A -> ( z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) ) )
33	32	rexlimdv 2586	. . . . . 6 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( E. v e. A z = `' v -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
34	3, 33	syl5bi 151	. . . . 5 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
35	34	alrimiv 1867	. . . 4 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
36		df-ral 2453	. . . . 5 |- ( A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) <-> A. z ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
37		vex 2733	. . . . . . . 8 |- z e. _V
38		eqeq1 2177	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( y = `' x <-> z = `' x ) )
39	38	rexbidv 2471	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( E. x e. A y = `' x <-> E. x e. A z = `' x ) )
40	37, 39	elab 2874	. . . . . . 7 |- ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } <-> E. x e. A z = `' x )
41		eqeq1 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( y = w -> ( y = `' x <-> w = `' x ) )
42	41	rexbidv 2471	. . . . . . . . 9 |- ( y = w -> ( E. x e. A y = `' x <-> E. x e. A w = `' x ) )
43	42	ralab 2890	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) <-> A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
44	43	anbi2i 454	. . . . . . 7 |- ( ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) <-> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) )
45	40, 44	imbi12i 238	. . . . . 6 |- ( ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) <-> ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
46	45	albii 1463	. . . . 5 |- ( A. z ( z e. { y | E. x e. A y = `' x } -> ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) <-> A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) )
47	36, 46	bitr2i 184	. . . 4 |- ( A. z ( E. x e. A z = `' x -> ( Fun z /\ A. w ( E. x e. A w = `' x -> ( z C_ w \/ w C_ z ) ) ) ) <-> A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
48	35, 47	sylib 121	. . 3 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) )
49		fununi 5266	. . 3 |- ( A. z e. { y | E. x e. A y = `' x } ( Fun z /\ A. w e. { y | E. x e. A y = `' x } ( z C_ w \/ w C_ z ) ) -> Fun U. { y | E. x e. A y = `' x } )
50	48, 49	syl 14	. 2 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun U. { y | E. x e. A y = `' x } )
51		cnvuni 4797	. . . 4 |- `' U. A = U_ x e. A `' x
52		vex 2733	. . . . . 6 |- x e. _V
53	52	cnvex 5149	. . . . 5 |- `' x e. _V
54	53	dfiun2 3907	. . . 4 |- U_ x e. A `' x = U. { y | E. x e. A y = `' x }
55	51, 54	eqtri 2191	. . 3 |- `' U. A = U. { y | E. x e. A y = `' x }
56	55	funeqi 5219	. 2 |- ( Fun `' U. A <-> Fun U. { y | E. x e. A y = `' x } )
57	50, 56	sylibr 133	1 |- ( A. f e. A ( Fun `' f /\ A. g e. A ( f C_ g \/ g C_ f ) ) -> Fun `' U. A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   U.cuni 3796   U_ciun 3873   `'ccnv 4610   Fun wfun 5192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200

This theorem is referenced by:  fun11uni  5268