Theorem dcdifsnid 6613

Description: If we remove a single element from a set with decidable equality then put it back in, we end up with the original set. This strengthens difsnss 3790 from subset to equality but the proof relies on equality being decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dcdifsnid	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem dcdifsnid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difsnss 3790	. . 3 |- ( B e. A -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) C_ A )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) C_ A )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z = B )
4		velsn 3660	. . . . . . 7 |- ( z e. { B } <-> z = B )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z e. { B } )
6		elun2 3349	. . . . . 6 |- ( z e. { B } -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
8		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. A )
9		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> -. z = B )
10	9, 4	sylnibr 679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> -. z e. { B } )
11	8, 10	eldifd 3184	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. ( A \ { B } ) )
12		elun1 3348	. . . . . 6 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
14		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
15		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> z e. A )
16		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> B e. A )
17		equequ1 1736	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
18	17	dcbid 840	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> (DECID x = y <-> DECID z = y ) )
19		eqeq2 2217	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( z = y <-> z = B ) )
20	19	dcbid 840	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> (DECID z = y <-> DECID z = B ) )
21	18, 20	rspc2v 2897	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A /\ B e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID z = B ) )
22	15, 16, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID z = B ) )
23	14, 22	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> DECID z = B )
24		exmiddc 838	. . . . . 6 |- (DECID z = B -> ( z = B \/ -. z = B ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> ( z = B \/ -. z = B ) )
26	7, 13, 25	mpjaodan 800	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( z e. A -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) )
28	27	ssrdv 3207	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> A C_ ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
29	2, 28	eqssd 3218	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   \ cdif 3171   u. cun 3172   C_ wss 3174   {csn 3643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649

This theorem is referenced by:  fnsnsplitdc  6614  nndifsnid  6616  fidifsnid  6994  undifdc  7047