Theorem dcdifsnid 6590

Description: If we remove a single element from a set with decidable equality then put it back in, we end up with the original set. This strengthens difsnss 3779 from subset to equality but the proof relies on equality being decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dcdifsnid	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem dcdifsnid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difsnss 3779	. . 3 |- ( B e. A -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) C_ A )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) C_ A )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z = B )
4		velsn 3650	. . . . . . 7 |- ( z e. { B } <-> z = B )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z e. { B } )
6		elun2 3341	. . . . . 6 |- ( z e. { B } -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
8		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. A )
9		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> -. z = B )
10	9, 4	sylnibr 679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> -. z e. { B } )
11	8, 10	eldifd 3176	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. ( A \ { B } ) )
12		elun1 3340	. . . . . 6 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
14		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
15		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> z e. A )
16		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> B e. A )
17		equequ1 1735	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
18	17	dcbid 840	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> (DECID x = y <-> DECID z = y ) )
19		eqeq2 2215	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( z = y <-> z = B ) )
20	19	dcbid 840	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> (DECID z = y <-> DECID z = B ) )
21	18, 20	rspc2v 2890	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A /\ B e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID z = B ) )
22	15, 16, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID z = B ) )
23	14, 22	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> DECID z = B )
24		exmiddc 838	. . . . . 6 |- (DECID z = B -> ( z = B \/ -. z = B ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> ( z = B \/ -. z = B ) )
26	7, 13, 25	mpjaodan 800	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( z e. A -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) )
28	27	ssrdv 3199	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> A C_ ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
29	2, 28	eqssd 3210	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   \ cdif 3163   u. cun 3164   C_ wss 3166   {csn 3633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639

This theorem is referenced by:  fnsnsplitdc  6591  nndifsnid  6593  fidifsnid  6968  undifdc  7021