Theorem dcdifsnid 6559

Description: If we remove a single element from a set with decidable equality then put it back in, we end up with the original set. This strengthens difsnss 3765 from subset to equality but the proof relies on equality being decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dcdifsnid	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem dcdifsnid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difsnss 3765	. . 3 |- ( B e. A -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) C_ A )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) C_ A )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z = B )
4		velsn 3636	. . . . . . 7 |- ( z e. { B } <-> z = B )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z e. { B } )
6		elun2 3328	. . . . . 6 |- ( z e. { B } -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
8		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. A )
9		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> -. z = B )
10	9, 4	sylnibr 678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> -. z e. { B } )
11	8, 10	eldifd 3164	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. ( A \ { B } ) )
12		elun1 3327	. . . . . 6 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
14		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
15		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> z e. A )
16		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> B e. A )
17		equequ1 1723	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
18	17	dcbid 839	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> (DECID x = y <-> DECID z = y ) )
19		eqeq2 2203	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( z = y <-> z = B ) )
20	19	dcbid 839	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> (DECID z = y <-> DECID z = B ) )
21	18, 20	rspc2v 2878	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A /\ B e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID z = B ) )
22	15, 16, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID z = B ) )
23	14, 22	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> DECID z = B )
24		exmiddc 837	. . . . . 6 |- (DECID z = B -> ( z = B \/ -. z = B ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> ( z = B \/ -. z = B ) )
26	7, 13, 25	mpjaodan 799	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( z e. A -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) )
28	27	ssrdv 3186	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> A C_ ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
29	2, 28	eqssd 3197	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   \ cdif 3151   u. cun 3152   C_ wss 3154   {csn 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625

This theorem is referenced by:  fnsnsplitdc  6560  nndifsnid  6562  fidifsnid  6929  undifdc  6982