Theorem dcdifsnid 6508

Description: If we remove a single element from a set with decidable equality then put it back in, we end up with the original set. This strengthens difsnss 3740 from subset to equality but the proof relies on equality being decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
dcdifsnid	|- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, B, y

Proof of Theorem dcdifsnid

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difsnss 3740	. . 3 |- ( B e. A -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) C_ A )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) C_ A )
3		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z = B )
4		velsn 3611	. . . . . . 7 |- ( z e. { B } <-> z = B )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z e. { B } )
6		elun2 3305	. . . . . 6 |- ( z e. { B } -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ z = B ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
8		simplr 528	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. A )
9		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> -. z = B )
10	9, 4	sylnibr 677	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> -. z e. { B } )
11	8, 10	eldifd 3141	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. ( A \ { B } ) )
12		elun1 3304	. . . . . 6 |- ( z e. ( A \ { B } ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) /\ -. z = B ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
14		simpll 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
15		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> z e. A )
16		simplr 528	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> B e. A )
17		equequ1 1712	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x = y <-> z = y ) )
18	17	dcbid 838	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> (DECID x = y <-> DECID z = y ) )
19		eqeq2 2187	. . . . . . . . . 10 |- ( y = B -> ( z = y <-> z = B ) )
20	19	dcbid 838	. . . . . . . . 9 |- ( y = B -> (DECID z = y <-> DECID z = B ) )
21	18, 20	rspc2v 2856	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. A /\ B e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID z = B ) )
22	15, 16, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> DECID z = B ) )
23	14, 22	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> DECID z = B )
24		exmiddc 836	. . . . . 6 |- (DECID z = B -> ( z = B \/ -. z = B ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> ( z = B \/ -. z = B ) )
26	7, 13, 25	mpjaodan 798	. . . 4 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) /\ z e. A ) -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
27	26	ex 115	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( z e. A -> z e. ( ( A \ { B } ) u. { B } ) ) )
28	27	ssrdv 3163	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> A C_ ( ( A \ { B } ) u. { B } ) )
29	2, 28	eqssd 3174	1 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   \ cdif 3128   u. cun 3129   C_ wss 3131   {csn 3594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600

This theorem is referenced by:  fnsnsplitdc  6509  nndifsnid  6511  fidifsnid  6874  undifdc  6926