ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dcdifsnid Unicode version

Theorem dcdifsnid 6198
Description: If we remove a single element from a set with decidable equality then put it back in, we end up with the original set. This strengthens difsnss 3560 from subset to equality but the proof relies on equality being decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Jun-2022.)
Assertion
Ref Expression
dcdifsnid  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  ->  (
( A  \  { B } )  u.  { B } )  =  A )
Distinct variable groups:    x, A, y   
x, B, y

Proof of Theorem dcdifsnid
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 difsnss 3560 . . 3  |-  ( B  e.  A  ->  (
( A  \  { B } )  u.  { B } )  C_  A
)
21adantl 271 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  ->  (
( A  \  { B } )  u.  { B } )  C_  A
)
3 simpr 108 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A
)  /\  z  e.  A )  /\  z  =  B )  ->  z  =  B )
4 velsn 3442 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { B }  <->  z  =  B )
53, 4sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A
)  /\  z  e.  A )  /\  z  =  B )  ->  z  e.  { B } )
6 elun2 3154 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { B }  ->  z  e.  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )
75, 6syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A
)  /\  z  e.  A )  /\  z  =  B )  ->  z  e.  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) )
8 simplr 497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A
)  /\  z  e.  A )  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  A )
9 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A
)  /\  z  e.  A )  /\  -.  z  =  B )  ->  -.  z  =  B )
109, 4sylnibr 635 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A
)  /\  z  e.  A )  /\  -.  z  =  B )  ->  -.  z  e.  { B } )
118, 10eldifd 2996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A
)  /\  z  e.  A )  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  ( A 
\  { B }
) )
12 elun1 3153 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( A  \  { B } )  -> 
z  e.  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )
1311, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A
)  /\  z  e.  A )  /\  -.  z  =  B )  ->  z  e.  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) )
14 simpll 496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  /\  z  e.  A
)  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
15 simpr 108 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  A )
16 simplr 497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  /\  z  e.  A
)  ->  B  e.  A )
17 equequ1 1642 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  <->  z  =  y ) )
1817dcbid 784 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (DECID  x  =  y  <-> DECID  z  =  y )
)
19 eqeq2 2094 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  B  ->  (
z  =  y  <->  z  =  B ) )
2019dcbid 784 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  B  ->  (DECID  z  =  y  <-> DECID  z  =  B )
)
2118, 20rspc2v 2725 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  A  /\  B  e.  A )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  -> DECID  z  =  B ) )
2215, 16, 21syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  /\  z  e.  A
)  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  -> DECID 
z  =  B ) )
2314, 22mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  /\  z  e.  A
)  -> DECID  z  =  B
)
24 exmiddc 780 . . . . . 6  |-  (DECID  z  =  B  ->  ( z  =  B  \/  -.  z  =  B )
)
2523, 24syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  /\  z  e.  A
)  ->  ( z  =  B  \/  -.  z  =  B )
)
267, 13, 25mpjaodan 745 . . . 4  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) )
2726ex 113 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  ->  (
z  e.  A  -> 
z  e.  ( ( A  \  { B } )  u.  { B } ) ) )
2827ssrdv 3018 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  ->  A  C_  ( ( A  \  { B } )  u. 
{ B } ) )
292, 28eqssd 3029 1  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  B  e.  A )  ->  (
( A  \  { B } )  u.  { B } )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    \/ wo 662  DECID wdc 778    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355    \ cdif 2983    u. cun 2984    C_ wss 2986   {csn 3425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-sn 3431
This theorem is referenced by:  nndifsnid  6199  fidifsnid  6520  undifdc  6564
  Copyright terms: Public domain W3C validator