ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqssd Unicode version

Theorem eqssd 3172
Description: Equality deduction from two subclass relationships. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
eqssd.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
eqssd.2  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
Assertion
Ref Expression
eqssd  |-  ( ph  ->  A  =  B )

Proof of Theorem eqssd
StepHypRef Expression
1 eqssd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
2 eqssd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  A )
3 eqss 3170 . 2  |-  ( A  =  B  <->  ( A  C_  B  /\  B  C_  A ) )
41, 2, 3sylanbrc 417 1  |-  ( ph  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    C_ wss 3129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-in 3135  df-ss 3142
This theorem is referenced by:  eqrd  3173  eqelssd  3174  unissel  3836  intmin  3862  int0el  3872  pwntru  4196  exmidundif  4203  exmidundifim  4204  dmcosseq  4893  relfld  5152  imadif  5291  imain  5293  fimacnv  5640  fo2ndf  6221  tposeq  6241  tfrlemibfn  6322  tfrlemi14d  6327  tfr1onlembfn  6338  tfri1dALT  6345  tfrcllembfn  6351  dcdifsnid  6498  fisbth  6876  en2eqpr  6900  exmidpw  6901  exmidpweq  6902  undifdcss  6915  nnnninfeq2  7120  en2other2  7188  exmidontriimlem3  7215  addnqpr  7538  mulnqpr  7554  distrprg  7565  ltexpri  7590  addcanprg  7593  recexprlemex  7614  aptipr  7618  cauappcvgprlemladd  7635  fzopth  10034  fzosplit  10150  fzouzsplit  10152  frecuzrdgtcl  10385  frecuzrdgdomlem  10390  zsupssdc  11925  phimullem  12195  structcnvcnv  12448  eltg4i  13188  unitg  13195  tgtop  13201  tgidm  13207  basgen  13213  2basgeng  13215  epttop  13223  ntrin  13257  isopn3  13258  neiuni  13294  tgrest  13302  resttopon  13304  rest0  13312  txdis  13410  hmeontr  13446  xmettx  13643  findset  14319  pwtrufal  14369  pwf1oexmid  14371
  Copyright terms: Public domain W3C validator