Theorem eqssd 3187

Description: Equality deduction from two subclass relationships. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqssd.1	|- ( ph -> A C_ B )
eqssd.2	|- ( ph -> B C_ A )

Assertion

Ref	Expression
eqssd	|- ( ph -> A = B )

Proof of Theorem eqssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqssd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		eqssd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ A )
3		eqss 3185	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   C_ wss 3144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-in 3150  df-ss 3157

This theorem is referenced by:  eqrd  3188  eqelssd  3189  unissel  3853  intmin  3879  int0el  3889  pwntru  4217  exmidundif  4224  exmidundifim  4225  dmcosseq  4916  relfld  5175  imadif  5315  imain  5317  fimacnv  5666  fo2ndf  6253  tposeq  6273  tfrlemibfn  6354  tfrlemi14d  6359  tfr1onlembfn  6370  tfri1dALT  6377  tfrcllembfn  6383  dcdifsnid  6530  fisbth  6912  en2eqpr  6936  exmidpw  6937  exmidpweq  6938  undifdcss  6952  nnnninfeq2  7158  en2other2  7226  exmidontriimlem3  7253  addnqpr  7591  mulnqpr  7607  distrprg  7618  ltexpri  7643  addcanprg  7646  recexprlemex  7667  aptipr  7671  cauappcvgprlemladd  7688  fzopth  10093  fzosplit  10209  fzouzsplit  10211  frecuzrdgtcl  10445  frecuzrdgdomlem  10450  zsupssdc  11990  phimullem  12260  structcnvcnv  12531  imasaddfnlemg  12794  trivsubgd  13156  trivsubgsnd  13157  trivnsgd  13173  kerf1ghm  13230  conjnmz  13235  lspun  13735  lspsn  13749  lspsnneg  13753  lsp0  13756  lsslsp  13762  mulgrhm2  13925  eltg4i  14032  unitg  14039  tgtop  14045  tgidm  14051  basgen  14057  2basgeng  14059  epttop  14067  ntrin  14101  isopn3  14102  neiuni  14138  tgrest  14146  resttopon  14148  rest0  14156  txdis  14254  hmeontr  14290  xmettx  14487  findset  15175  pwtrufal  15226  pwf1oexmid  15228