Theorem eqssd 3265

Description: Equality deduction from two subclass relationships. Compare Theorem 4 of [Suppes] p. 22. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqssd.1	|- ( ph -> A C_ B )
eqssd.2	|- ( ph -> B C_ A )

Assertion

Ref	Expression
eqssd	|- ( ph -> A = B )

Proof of Theorem eqssd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqssd.1	. 2 |- ( ph -> A C_ B )
2		eqssd.2	. 2 |- ( ph -> B C_ A )
3		eqss 3263	. 2 |- ( A = B <-> ( A C_ B /\ B C_ A ) )
4	1, 2, 3	sylanbrc 421	1 |- ( ph -> A = B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqrd  3266  eqelssd  3267  unissel  3964  intmin  3990  int0el  4000  pwntru  4336  exmidundif  4343  exmidundifim  4344  dmcosseq  5054  relfld  5316  imadif  5461  imain  5463  fimacnv  5837  fo2ndf  6463  tposeq  6518  tfrlemibfn  6599  tfrlemi14d  6604  tfr1onlembfn  6615  tfri1dALT  6622  tfrcllembfn  6628  dcdifsnid  6777  fisbth  7187  en2eqpr  7214  exmidpw  7215  exmidpweq  7216  undifdcss  7230  nnnninfeq2  7470  en2other2  7549  exmidontriimlem3  7580  pw1m  7584  addnqpr  7929  mulnqpr  7945  distrprg  7956  ltexpri  7981  addcanprg  7984  recexprlemex  8005  aptipr  8009  cauappcvgprlemladd  8026  fzopth  10478  fzosplit  10597  fzouzsplit  10599  zsupssdc  10684  frecuzrdgtcl  10863  frecuzrdgdomlem  10868  ccatrn  11392  phimullem  13025  structcnvcnv  13419  imasaddfnlemg  13686  gsumvallem2  13851  trivsubgd  14054  trivsubgsnd  14055  trivnsgd  14071  kerf1ghm  14128  conjnmz  14133  lspun  14790  lspsn  14804  lspsnneg  14808  lsp0  14811  lsslsp  14817  mulgrhm2  14996  znrrg  15046  eltg4i  15208  unitg  15215  tgtop  15221  tgidm  15227  basgen  15233  2basgeng  15235  epttop  15243  ntrin  15277  isopn3  15278  neiuni  15314  tgrest  15322  resttopon  15324  rest0  15332  txdis  15430  hmeontr  15466  xmettx  15663  ppiqsval  16162  ppinprm  16182  chtnprm  16184  findset  17093  pwtrufal  17149  pwf1oexmid  17151