Theorem fidifsnid 7029

Description: If we remove a single element from a finite set then put it back in, we end up with the original finite set. This strengthens difsnss 3813 from subset to equality when the set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fidifsnid	|- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Proof of Theorem fidifsnid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 7027	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A /\ y e. A ) -> DECID x = y )
2	1	3expb 1228	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
3	2	ralrimivva 2612	. 2 |- ( A e. Fin -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
4		dcdifsnid 6648	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
5	3, 4	sylan 283	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   \ cdif 3194   u. cun 3195   {csn 3666   Fincfn 6885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-en 6886  df-fin 6888

This theorem is referenced by:  findcard2  7047  findcard2s  7048  xpfi  7090  fisseneq  7092  zfz1isolem1  11057