Theorem fidifsnid 7053

Description: If we remove a single element from a finite set then put it back in, we end up with the original finite set. This strengthens difsnss 3817 from subset to equality when the set is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fidifsnid	|- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Proof of Theorem fidifsnid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fidceq 7051	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ x e. A /\ y e. A ) -> DECID x = y )
2	1	3expb 1228	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( x e. A /\ y e. A ) ) -> DECID x = y )
3	2	ralrimivva 2612	. 2 |- ( A e. Fin -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
4		dcdifsnid 6667	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )
5	3, 4	sylan 283	1 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> ( ( A \ { B } ) u. { B } ) = A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   \ cdif 3195   u. cun 3196   {csn 3667   Fincfn 6904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-en 6905  df-fin 6907

This theorem is referenced by:  findcard2  7071  findcard2s  7072  xpfi  7117  fisseneq  7119  zfz1isolem1  11094