Theorem dffun5r 5283

Description: A way of proving a relation is a function, analogous to mo2r 2106. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dffun5r	|- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> Fun A )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun5r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1551	. . . . . 6 |- F/ z <. x , y >. e. A
2	1	mo2r 2106	. . . . 5 |- ( E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> E* y <. x , y >. e. A )
3		opeq2 3820	. . . . . . 7 |- ( y = z -> <. x , y >. = <. x , z >. )
4	3	eleq1d 2274	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , z >. e. A ) )
5	4	mo4 2115	. . . . 5 |- ( E* y <. x , y >. e. A <-> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
6	2, 5	sylib 122	. . . 4 |- ( E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
7	6	alimi 1478	. . 3 |- ( A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
8	7	anim2i 342	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
9		dffun4 5282	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
10	8, 9	sylibr 134	1 |- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> Fun A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1371   E.wex 1515   E*wmo 2055   e. wcel 2176   <.cop 3636   Rel wrel 4680   Fun wfun 5265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-cnv 4683  df-co 4684  df-fun 5273

This theorem is referenced by: (None)