Theorem dffun5r 5345

Description: A way of proving a relation is a function, analogous to mo2r 2132. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dffun5r	|- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> Fun A )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun5r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. . . . . 6 |- F/ z <. x , y >. e. A
2	1	mo2r 2132	. . . . 5 |- ( E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> E* y <. x , y >. e. A )
3		opeq2 3868	. . . . . . 7 |- ( y = z -> <. x , y >. = <. x , z >. )
4	3	eleq1d 2300	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , z >. e. A ) )
5	4	mo4 2141	. . . . 5 |- ( E* y <. x , y >. e. A <-> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
6	2, 5	sylib 122	. . . 4 |- ( E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
7	6	alimi 1504	. . 3 |- ( A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
8	7	anim2i 342	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
9		dffun4 5344	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
10	8, 9	sylibr 134	1 |- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> Fun A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1396   E.wex 1541   E*wmo 2080   e. wcel 2202   <.cop 3676   Rel wrel 4736   Fun wfun 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-cnv 4739  df-co 4740  df-fun 5335

This theorem is referenced by: (None)