Theorem dffun5r 5230

Description: A way of proving a relation is a function, analogous to mo2r 2078. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dffun5r	|- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> Fun A )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun5r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1528	. . . . . 6 |- F/ z <. x , y >. e. A
2	1	mo2r 2078	. . . . 5 |- ( E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> E* y <. x , y >. e. A )
3		opeq2 3781	. . . . . . 7 |- ( y = z -> <. x , y >. = <. x , z >. )
4	3	eleq1d 2246	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , z >. e. A ) )
5	4	mo4 2087	. . . . 5 |- ( E* y <. x , y >. e. A <-> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
6	2, 5	sylib 122	. . . 4 |- ( E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
7	6	alimi 1455	. . 3 |- ( A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
8	7	anim2i 342	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
9		dffun4 5229	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
10	8, 9	sylibr 134	1 |- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> Fun A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1351   E.wex 1492   E*wmo 2027   e. wcel 2148   <.cop 3597   Rel wrel 4633   Fun wfun 5212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-cnv 4636  df-co 4637  df-fun 5220

This theorem is referenced by: (None)