ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dffun5r Unicode version

Theorem dffun5r 4995
Description: A way of proving a relation is a function, analogous to mo2r 1997. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
dffun5r  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z ) )  ->  Fun  A )
Distinct variable group:    x, y, z, A

Proof of Theorem dffun5r
StepHypRef Expression
1 nfv 1464 . . . . . 6  |-  F/ z
<. x ,  y >.  e.  A
21mo2r 1997 . . . . 5  |-  ( E. z A. y (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z )  ->  E* y <. x ,  y
>.  e.  A )
3 opeq2 3608 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  <. x ,  y >.  =  <. x ,  z >. )
43eleq1d 2153 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( <. x ,  y >.  e.  A  <->  <. x ,  z
>.  e.  A ) )
54mo4 2006 . . . . 5  |-  ( E* y <. x ,  y
>.  e.  A  <->  A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
62, 5sylib 120 . . . 4  |-  ( E. z A. y (
<. x ,  y >.  e.  A  ->  y  =  z )  ->  A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
76alimi 1387 . . 3  |-  ( A. x E. z A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z )  ->  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) )
87anim2i 334 . 2  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z ) )  ->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
9 dffun4 4994 . 2  |-  ( Fun 
A  <->  ( Rel  A  /\  A. x A. y A. z ( ( <.
x ,  y >.  e.  A  /\  <. x ,  z >.  e.  A
)  ->  y  =  z ) ) )
108, 9sylibr 132 1  |-  ( ( Rel  A  /\  A. x E. z A. y
( <. x ,  y
>.  e.  A  ->  y  =  z ) )  ->  Fun  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102   A.wal 1285   E.wex 1424    e. wcel 1436   E*wmo 1946   <.cop 3434   Rel wrel 4418   Fun wfun 4977
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-br 3823  df-opab 3877  df-id 4096  df-cnv 4421  df-co 4422  df-fun 4985
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator