Theorem dffun5r 5266

Description: A way of proving a relation is a function, analogous to mo2r 2094. (Contributed by Jim Kingdon, 27-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dffun5r	|- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> Fun A )

Distinct variable group:   x, y, z, A

Proof of Theorem dffun5r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1539	. . . . . 6 |- F/ z <. x , y >. e. A
2	1	mo2r 2094	. . . . 5 |- ( E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> E* y <. x , y >. e. A )
3		opeq2 3805	. . . . . . 7 |- ( y = z -> <. x , y >. = <. x , z >. )
4	3	eleq1d 2262	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( <. x , y >. e. A <-> <. x , z >. e. A ) )
5	4	mo4 2103	. . . . 5 |- ( E* y <. x , y >. e. A <-> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
6	2, 5	sylib 122	. . . 4 |- ( E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
7	6	alimi 1466	. . 3 |- ( A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) -> A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) )
8	7	anim2i 342	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
9		dffun4 5265	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x A. y A. z ( ( <. x , y >. e. A /\ <. x , z >. e. A ) -> y = z ) ) )
10	8, 9	sylibr 134	1 |- ( ( Rel A /\ A. x E. z A. y ( <. x , y >. e. A -> y = z ) ) -> Fun A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   A.wal 1362   E.wex 1503   E*wmo 2043   e. wcel 2164   <.cop 3621   Rel wrel 4664   Fun wfun 5248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-cnv 4667  df-co 4668  df-fun 5256

This theorem is referenced by: (None)