Theorem dfmptg 5741

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 4096 (which requires that B be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmptg	|- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )

Proof of Theorem dfmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5380	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A ( { x } X. { B } )
2		vex 2766	. . . . 5 |- x e. _V
3		xpsng 5737	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ B e. V ) -> ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
4	2, 3	mpan 424	. . . 4 |- ( B e. V -> ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
5	4	ralimi 2560	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
6		iuneq2 3932	. . 3 |- ( A. x e. A ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } -> U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
8	1, 7	eqtrid 2241	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   {csn 3622   <.cop 3625   U_ciun 3916   |-> cmpt 4094   X. cxp 4661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265

This theorem is referenced by:  fnasrng  5742