Theorem dfmptg 5675

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 4052 (which requires that B be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmptg	|- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )

Proof of Theorem dfmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5320	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A ( { x } X. { B } )
2		vex 2733	. . . . 5 |- x e. _V
3		xpsng 5671	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ B e. V ) -> ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
4	2, 3	mpan 422	. . . 4 |- ( B e. V -> ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
5	4	ralimi 2533	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
6		iuneq2 3889	. . 3 |- ( A. x e. A ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } -> U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
8	1, 7	eqtrid 2215	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   _Vcvv 2730   {csn 3583   <.cop 3586   U_ciun 3873   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205

This theorem is referenced by:  fnasrng  5676