Theorem dfmptg 5643

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 4027 (which requires that B be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmptg	|- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )

Proof of Theorem dfmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5289	. 2 |- ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A ( { x } X. { B } )
2		vex 2715	. . . . 5 |- x e. _V
3		xpsng 5639	. . . . 5 |- ( ( x e. _V /\ B e. V ) -> ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
4	2, 3	mpan 421	. . . 4 |- ( B e. V -> ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
5	4	ralimi 2520	. . 3 |- ( A. x e. A B e. V -> A. x e. A ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } )
6		iuneq2 3865	. . 3 |- ( A. x e. A ( { x } X. { B } ) = { <. x , B >. } -> U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
7	5, 6	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A B e. V -> U_ x e. A ( { x } X. { B } ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )
8	1, 7	syl5eq 2202	1 |- ( A. x e. A B e. V -> ( x e. A |-> B ) = U_ x e. A { <. x , B >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   {csn 3560   <.cop 3563   U_ciun 3849   |-> cmpt 4025   X. cxp 4581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174

This theorem is referenced by:  fnasrng  5644