ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfmptg Unicode version

Theorem dfmptg 5439
Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 3876 (which requires that  B be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfmptg  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )

Proof of Theorem dfmptg
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 5101 . 2  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { B }
)
2 vex 2618 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
3 xpsng 5435 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  _V  /\  B  e.  V )  ->  ( { x }  X.  { B } )  =  { <. x ,  B >. } )
42, 3mpan 415 . . . 4  |-  ( B  e.  V  ->  ( { x }  X.  { B } )  =  { <. x ,  B >. } )
54ralimi 2434 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  ( {
x }  X.  { B } )  =  { <. x ,  B >. } )
6 iuneq2 3729 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( { x }  X.  { B } )  =  { <. x ,  B >. }  ->  U_ x  e.  A  ( { x }  X.  { B }
)  =  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )
75, 6syl 14 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  U_ x  e.  A  ( {
x }  X.  { B } )  =  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )
81, 7syl5eq 2129 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  U_ x  e.  A  { <. x ,  B >. } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   _Vcvv 2615   {csn 3431   <.cop 3434   U_ciun 3713    |-> cmpt 3874    X. cxp 4409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-iun 3715  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988
This theorem is referenced by:  fnasrng  5440
  Copyright terms: Public domain W3C validator