ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfmptg GIF version

Theorem dfmptg 5441
Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 3878 (which requires that 𝐵 be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfmptg (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Proof of Theorem dfmptg
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 5103 . 2 (𝑥𝐴𝐵) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵})
2 vex 2618 . . . . 5 𝑥 ∈ V
3 xpsng 5437 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
42, 3mpan 415 . . . 4 (𝐵𝑉 → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
54ralimi 2434 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
6 iuneq2 3731 . . 3 (∀𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩} → 𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
75, 6syl 14 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
81, 7syl5eq 2129 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1287  wcel 1436  wral 2355  Vcvv 2615  {csn 3431  cop 3434   ciun 3715  cmpt 3876   × cxp 4411
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-id 4096  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990
This theorem is referenced by:  fnasrng  5442
  Copyright terms: Public domain W3C validator