Theorem dfmptg 5664

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 4045 (which requires that 𝐵 be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmptg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Proof of Theorem dfmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5310	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵})
2		vex 2729	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		xpsng 5660	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
4	2, 3	mpan 421	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
5	4	ralimi 2529	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
6		iuneq2 3882	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩} → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
8	1, 7	syl5eq 2211	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  Vcvv 2726  {csn 3576  ⟨cop 3579  ∪ ciun 3866   ↦ cmpt 4043   × cxp 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195

This theorem is referenced by:  fnasrng  5665