Theorem dfmptg 5421

Description: Alternate definition for the "maps to" notation df-mpt 3870 (which requires that 𝐵 be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmptg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Proof of Theorem dfmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5092	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵})
2		vex 2617	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		xpsng 5417	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
4	2, 3	mpan 415	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
5	4	ralimi 2434	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
6		iuneq2 3723	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩} → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
8	1, 7	syl5eq 2129	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1287   ∈ wcel 1436  ∀wral 2355  Vcvv 2614  {csn 3425  ⟨cop 3428  ∪ ciun 3707   ↦ cmpt 3868   × cxp 4402

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-v 2616  df-sbc 2829  df-csb 2922  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-iun 3709  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979

This theorem is referenced by:  fnasrng  5422