ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfmptg GIF version

Theorem dfmptg 5553
Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 3951 (which requires that 𝐵 be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfmptg (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Proof of Theorem dfmptg
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 5203 . 2 (𝑥𝐴𝐵) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵})
2 vex 2660 . . . . 5 𝑥 ∈ V
3 xpsng 5549 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
42, 3mpan 418 . . . 4 (𝐵𝑉 → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
54ralimi 2469 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
6 iuneq2 3795 . . 3 (∀𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩} → 𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
75, 6syl 14 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
81, 7syl5eq 2159 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1314  wcel 1463  wral 2390  Vcvv 2657  {csn 3493  cop 3496   ciun 3779  cmpt 3949   × cxp 4497
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088
This theorem is referenced by:  fnasrng  5554
  Copyright terms: Public domain W3C validator