Theorem dfmptg 5857

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 4173 (which requires that 𝐵 be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmptg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Proof of Theorem dfmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5481	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵})
2		vex 2816	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		xpsng 5853	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
4	2, 3	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
5	4	ralimi 2605	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
6		iuneq2 4007	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩} → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
8	1, 7	eqtrid 2277	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  Vcvv 2813  {csn 3689  ⟨cop 3692  ∪ ciun 3991   ↦ cmpt 4171   × cxp 4747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359

This theorem is referenced by:  fnasrng  5858  funiun  5859