ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfmptg GIF version

Theorem dfmptg 5737
Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 4092 (which requires that 𝐵 be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
dfmptg (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Proof of Theorem dfmptg
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 5376 . 2 (𝑥𝐴𝐵) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵})
2 vex 2763 . . . . 5 𝑥 ∈ V
3 xpsng 5733 . . . . 5 ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵𝑉) → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
42, 3mpan 424 . . . 4 (𝐵𝑉 → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
54ralimi 2557 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
6 iuneq2 3928 . . 3 (∀𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩} → 𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
75, 6syl 14 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 𝑥𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
81, 7eqtrid 2238 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → (𝑥𝐴𝐵) = 𝑥𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1364  wcel 2164  wral 2472  Vcvv 2760  {csn 3618  cop 3621   ciun 3912  cmpt 4090   × cxp 4657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261
This theorem is referenced by:  fnasrng  5738
  Copyright terms: Public domain W3C validator