Theorem dfmptg 5719

Description: Alternate definition for the maps-to notation df-mpt 4084 (which requires that 𝐵 be a set). (Contributed by Jim Kingdon, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfmptg	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Proof of Theorem dfmptg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfmpt3 5360	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵})
2		vex 2755	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		xpsng 5715	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
4	2, 3	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
5	4	ralimi 2553	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩})
6		iuneq2 3920	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = {⟨𝑥, 𝐵⟩} → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
7	5, 6	syl 14	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × {𝐵}) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})
8	1, 7	eqtrid 2234	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 {⟨𝑥, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ∀wral 2468  Vcvv 2752  {csn 3610  ⟨cop 3613  ∪ ciun 3904   ↦ cmpt 4082   × cxp 4645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245

This theorem is referenced by:  fnasrng  5720