Theorem exse2 5156

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2537	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2824	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2824	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4980	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3323	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3280	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 5041	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 4267	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 418	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2624	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4473	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   {cab 2224   A.wral 2528   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   class class class wbr 4125   Se wse 4469   dom cdm 4769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-se 4473  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780

This theorem is referenced by: (None)