Theorem exse2 5056

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2493	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2775	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2775	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4882	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3268	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3225	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 4942	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 4183	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2580	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4380	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   {cab 2191   A.wral 2484   {crab 2488   _Vcvv 2772   C_ wss 3166   class class class wbr 4044   Se wse 4376   dom cdm 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-se 4380  df-cnv 4683  df-dm 4685  df-rn 4686

This theorem is referenced by: (None)