Theorem exse2 5136

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2529	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2816	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2816	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4960	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3313	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3270	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 5021	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 4249	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2616	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4454	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2203   {cab 2218   A.wral 2520   {crab 2524   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   Se wse 4450   dom cdm 4749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-se 4454  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760

This theorem is referenced by: (None)