Theorem exse2 5075

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2495	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2779	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2779	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4901	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3276	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3233	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 4961	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 4199	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2582	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4398	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   {crab 2490   _Vcvv 2776   C_ wss 3174   class class class wbr 4059   Se wse 4394   dom cdm 4693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-se 4398  df-cnv 4701  df-dm 4703  df-rn 4704

This theorem is referenced by: (None)