Theorem exse2 5044

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2484	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2766	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2766	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4871	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3259	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3216	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 4931	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 4173	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2571	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4369	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 134	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   {cab 2182   A.wral 2475   {crab 2479   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   Se wse 4365   dom cdm 4664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-se 4369  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675

This theorem is referenced by: (None)