Theorem exse2 4849

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2384	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2644	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2644	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4681	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 273	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3119	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3079	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 4739	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 4007	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 408	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2465	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4193	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 133	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1448   {cab 2086   A.wral 2375   {crab 2379   _Vcvv 2641   C_ wss 3021   class class class wbr 3875   Se wse 4189   dom cdm 4477

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-se 4193  df-cnv 4485  df-dm 4487  df-rn 4488

This theorem is referenced by: (None)