Theorem exse2 4985

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2457	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2733	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2733	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4815	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3222	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3179	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 4875	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 4128	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 412	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2544	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4318	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 133	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   {crab 2452   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   Se wse 4314   dom cdm 4611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-se 4318  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622

This theorem is referenced by: (None)