Theorem exse2 4978

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2453	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2729	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2729	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4808	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3217	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3174	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 4868	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 4121	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 411	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2540	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4311	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 133	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   {crab 2448   _Vcvv 2726   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   Se wse 4307   dom cdm 4604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-se 4311  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615

This theorem is referenced by: (None)