Theorem exse2 4913

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2425	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2689	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2689	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4743	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3172	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3129	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 4803	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 4067	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 410	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2506	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4255	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 133	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   {crab 2420   _Vcvv 2686   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   Se wse 4251   dom cdm 4539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-se 4255  df-cnv 4547  df-dm 4549  df-rn 4550

This theorem is referenced by: (None)