ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  exse2 Unicode version

Theorem exse2 4849
Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
exse2  |-  ( R  e.  V  ->  R Se  A )

Proof of Theorem exse2
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-rab 2384 . . . . 5  |-  { y  e.  A  |  y R x }  =  { y  |  ( y  e.  A  /\  y R x ) }
2 vex 2644 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
3 vex 2644 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
42, 3breldm 4681 . . . . . . 7  |-  ( y R x  ->  y  e.  dom  R )
54adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  A  /\  y R x )  -> 
y  e.  dom  R
)
65abssi 3119 . . . . 5  |-  { y  |  ( y  e.  A  /\  y R x ) }  C_  dom  R
71, 6eqsstri 3079 . . . 4  |-  { y  e.  A  |  y R x }  C_  dom  R
8 dmexg 4739 . . . 4  |-  ( R  e.  V  ->  dom  R  e.  _V )
9 ssexg 4007 . . . 4  |-  ( ( { y  e.  A  |  y R x }  C_  dom  R  /\  dom  R  e.  _V )  ->  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
107, 8, 9sylancr 408 . . 3  |-  ( R  e.  V  ->  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
1110ralrimivw 2465 . 2  |-  ( R  e.  V  ->  A. x  e.  A  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
12 df-se 4193 . 2  |-  ( R Se  A  <->  A. x  e.  A  { y  e.  A  |  y R x }  e.  _V )
1311, 12sylibr 133 1  |-  ( R  e.  V  ->  R Se  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1448   {cab 2086   A.wral 2375   {crab 2379   _Vcvv 2641    C_ wss 3021   class class class wbr 3875   Se wse 4189   dom cdm 4477
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-se 4193  df-cnv 4485  df-dm 4487  df-rn 4488
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator