Theorem exse2 4759

Description: Any set relation is set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exse2	|- ( R e. V -> R Se A )

Proof of Theorem exse2

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2362	. . . . 5 |- { y e. A | y R x } = { y | ( y e. A /\ y R x ) }
2		vex 2615	. . . . . . . 8 |- y e. _V
3		vex 2615	. . . . . . . 8 |- x e. _V
4	2, 3	breldm 4596	. . . . . . 7 |- ( y R x -> y e. dom R )
5	4	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( y e. A /\ y R x ) -> y e. dom R )
6	5	abssi 3080	. . . . 5 |- { y | ( y e. A /\ y R x ) } C_ dom R
7	1, 6	eqsstri 3040	. . . 4 |- { y e. A | y R x } C_ dom R
8		dmexg 4653	. . . 4 |- ( R e. V -> dom R e. _V )
9		ssexg 3943	. . . 4 |- ( ( { y e. A | y R x } C_ dom R /\ dom R e. _V ) -> { y e. A | y R x } e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 405	. . 3 |- ( R e. V -> { y e. A | y R x } e. _V )
11	10	ralrimivw 2441	. 2 |- ( R e. V -> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
12		df-se 4123	. 2 |- ( R Se A <-> A. x e. A { y e. A | y R x } e. _V )
13	11, 12	sylibr 132	1 |- ( R e. V -> R Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1434   {cab 2069   A.wral 2353   {crab 2357   _Vcvv 2612   C_ wss 2984   class class class wbr 3811   Se wse 4119   dom cdm 4399

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-se 4123  df-cnv 4407  df-dm 4409  df-rn 4410

This theorem is referenced by: (None)