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Theorem rmo4 2799
Description: Restricted "at most one" using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
rmo4.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
rmo4  |-  ( E* x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem rmo4
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2363 . 2  |-  ( E* x  e.  A  ph  <->  E* x ( x  e.  A  /\  ph )
)
2 an4 551 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  ps ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ph  /\  ps ) ) )
3 ancom 262 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  <->  ( y  e.  A  /\  x  e.  A )
)
43anbi1i 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( ph  /\ 
ps ) )  <->  ( (
y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  ps ) ) )
52, 4bitri 182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  ps ) )  <->  ( (
y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  ps ) ) )
65imbi1i 236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  ps ) )  ->  x  =  y ) )
7 impexp 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  /\  ( ph  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A )  ->  (
( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
8 impexp 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y )
)  <->  ( y  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( (
ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
96, 7, 83bitri 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  ( y  e.  A  -> 
( x  e.  A  ->  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
109albii 1402 . . . . 5  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
11 df-ral 2360 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  A  -> 
( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) )  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) ) )
12 r19.21v 2446 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  A  -> 
( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y )
) )
1310, 11, 123bitr2i 206 . . . 4  |-  ( A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y )
) )
1413albii 1402 . . 3  |-  ( A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  (
y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) ) )
15 eleq1 2147 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
16 rmo4.1 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1715, 16anbi12d 457 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( y  e.  A  /\  ps )
) )
1817mo4 2006 . . 3  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. x A. y ( ( ( x  e.  A  /\  ph )  /\  ( y  e.  A  /\  ps ) )  ->  x  =  y )
)
19 df-ral 2360 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  ps )  ->  x  =  y )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ( ( ph  /\  ps )  ->  x  =  y )
) )
2014, 18, 193bitr4i 210 . 2  |-  ( E* x ( x  e.  A  /\  ph )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
211, 20bitri 182 1  |-  ( E* x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( ph  /\  ps )  ->  x  =  y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1285    e. wcel 1436   E*wmo 1946   A.wral 2355   E*wrmo 2358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-ral 2360  df-rmo 2363
This theorem is referenced by:  reu4  2800  supmoti  6632  lteupri  7120  elrealeu  7311  rereceu  7368  exbtwnz  9590  rsqrmo  10355  divalglemeunn  10796  divalglemeuneg  10798  bezoutlemeu  10871  pw2dvdseu  11021
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