Theorem dmuni 4876

Description: The domain of a union. Part of Exercise 8 of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmuni	|- dom U. A = U_ x e. A dom x

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmuni

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1678	. . . . 5 |- ( E. z E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> E. x E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
2		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( E. z <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ E. z <. y , z >. e. x ) )
3		19.41v 1917	. . . . . . 7 |- ( E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> ( E. z <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
4		vex 2766	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
5	4	eldm2 4864	. . . . . . . 8 |- ( y e. dom x <-> E. z <. y , z >. e. x )
6	5	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. dom x ) <-> ( x e. A /\ E. z <. y , z >. e. x ) )
7	2, 3, 6	3bitr4i 212	. . . . . 6 |- ( E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ y e. dom x ) )
8	7	exbii 1619	. . . . 5 |- ( E. x E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> E. x ( x e. A /\ y e. dom x ) )
9	1, 8	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> E. x ( x e. A /\ y e. dom x ) )
10		eluni 3842	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U. A <-> E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
11	10	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. z <. y , z >. e. U. A <-> E. z E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
12		df-rex 2481	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. dom x <-> E. x ( x e. A /\ y e. dom x ) )
13	9, 11, 12	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E. z <. y , z >. e. U. A <-> E. x e. A y e. dom x )
14	4	eldm2 4864	. . 3 |- ( y e. dom U. A <-> E. z <. y , z >. e. U. A )
15		eliun 3920	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A dom x <-> E. x e. A y e. dom x )
16	13, 14, 15	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. dom U. A <-> y e. U_ x e. A dom x )
17	16	eqriv 2193	1 |- dom U. A = U_ x e. A dom x

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   <.cop 3625   U.cuni 3839   U_ciun 3916   dom cdm 4663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-dm 4673

This theorem is referenced by:  tfrlem8  6376  tfrlemi14d  6391  tfr1onlemres  6407  tfrcllemres  6420