Theorem dmuni 4986

Description: The domain of a union. Part of Exercise 8 of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmuni	|- dom U. A = U_ x e. A dom x

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmuni

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1716	. . . . 5 |- ( E. z E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> E. x E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
2		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( E. z <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ E. z <. y , z >. e. x ) )
3		19.41v 1958	. . . . . . 7 |- ( E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> ( E. z <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
4		vex 2824	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
5	4	eldm2 4974	. . . . . . . 8 |- ( y e. dom x <-> E. z <. y , z >. e. x )
6	5	anbi2i 461	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. dom x ) <-> ( x e. A /\ E. z <. y , z >. e. x ) )
7	2, 3, 6	3bitr4i 212	. . . . . 6 |- ( E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ y e. dom x ) )
8	7	exbii 1658	. . . . 5 |- ( E. x E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> E. x ( x e. A /\ y e. dom x ) )
9	1, 8	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> E. x ( x e. A /\ y e. dom x ) )
10		eluni 3933	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U. A <-> E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
11	10	exbii 1658	. . . 4 |- ( E. z <. y , z >. e. U. A <-> E. z E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
12		df-rex 2534	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. dom x <-> E. x ( x e. A /\ y e. dom x ) )
13	9, 11, 12	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E. z <. y , z >. e. U. A <-> E. x e. A y e. dom x )
14	4	eldm2 4974	. . 3 |- ( y e. dom U. A <-> E. z <. y , z >. e. U. A )
15		eliun 4011	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A dom x <-> E. x e. A y e. dom x )
16	13, 14, 15	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. dom U. A <-> y e. U_ x e. A dom x )
17	16	eqriv 2235	1 |- dom U. A = U_ x e. A dom x

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   E.wrex 2529   <.cop 3708   U.cuni 3930   U_ciun 4007   dom cdm 4769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-dm 4779

This theorem is referenced by:  tfrlem8  6579  tfrlemi14d  6594  tfr1onlemres  6610  tfrcllemres  6623