Theorem dmuni 4872

Description: The domain of a union. Part of Exercise 8 of [Enderton] p. 41. (Contributed by NM, 3-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
dmuni	|- dom U. A = U_ x e. A dom x

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem dmuni

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 1675	. . . . 5 |- ( E. z E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> E. x E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
2		ancom 266	. . . . . . 7 |- ( ( E. z <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ E. z <. y , z >. e. x ) )
3		19.41v 1914	. . . . . . 7 |- ( E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> ( E. z <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
4		vex 2763	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
5	4	eldm2 4860	. . . . . . . 8 |- ( y e. dom x <-> E. z <. y , z >. e. x )
6	5	anbi2i 457	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. dom x ) <-> ( x e. A /\ E. z <. y , z >. e. x ) )
7	2, 3, 6	3bitr4i 212	. . . . . 6 |- ( E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ y e. dom x ) )
8	7	exbii 1616	. . . . 5 |- ( E. x E. z ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> E. x ( x e. A /\ y e. dom x ) )
9	1, 8	bitri 184	. . . 4 |- ( E. z E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) <-> E. x ( x e. A /\ y e. dom x ) )
10		eluni 3838	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. U. A <-> E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
11	10	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. z <. y , z >. e. U. A <-> E. z E. x ( <. y , z >. e. x /\ x e. A ) )
12		df-rex 2478	. . . 4 |- ( E. x e. A y e. dom x <-> E. x ( x e. A /\ y e. dom x ) )
13	9, 11, 12	3bitr4i 212	. . 3 |- ( E. z <. y , z >. e. U. A <-> E. x e. A y e. dom x )
14	4	eldm2 4860	. . 3 |- ( y e. dom U. A <-> E. z <. y , z >. e. U. A )
15		eliun 3916	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A dom x <-> E. x e. A y e. dom x )
16	13, 14, 15	3bitr4i 212	. 2 |- ( y e. dom U. A <-> y e. U_ x e. A dom x )
17	16	eqriv 2190	1 |- dom U. A = U_ x e. A dom x

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   <.cop 3621   U.cuni 3835   U_ciun 3912   dom cdm 4659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-dm 4669

This theorem is referenced by:  tfrlem8  6371  tfrlemi14d  6386  tfr1onlemres  6402  tfrcllemres  6415