Theorem ennnfonelemdm 12866

Description: Lemma for ennnfone 12871. The function L is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdm	|- ( ph -> dom L = om )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, n   x, F, y, k   j, G   i, H, j, k, n   x, H, y, i   j, J   i, L, j, x, y   j, N, k, n   x, N, y   ph, i, j, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( k, n)   N( i)

Proof of Theorem ennnfonelemdm

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
2	1	dmeqi 4888	. . . . . . . . . 10 |- dom L = dom U_ i e. NN0 ( H ` i )
3		dmiun 4896	. . . . . . . . . 10 |- dom U_ i e. NN0 ( H ` i ) = U_ i e. NN0 dom ( H ` i )
4	2, 3	eqtri 2227	. . . . . . . . 9 |- dom L = U_ i e. NN0 dom ( H ` i )
5	4	eleq2i 2273	. . . . . . . 8 |- ( m e. dom L <-> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
6	5	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( m e. dom L -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
8		eliun 3937	. . . . . 6 |- ( m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
10		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> m e. dom ( H ` i ) )
11		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
13		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> F : om -onto-> A )
15		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
17		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
18		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
19		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
20		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 |- H = seq 0 ( G , J )
21		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> i e. NN0 )
22	12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ennnfonelemom 12854	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> dom ( H ` i ) e. om )
23		elnn 4662	. . . . . 6 |- ( ( m e. dom ( H ` i ) /\ dom ( H ` i ) e. om ) -> m e. om )
24	10, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> m e. om )
25	9, 24	rexlimddv 2629	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> m e. om )
26	25	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( m e. dom L -> m e. om ) )
27	26	ssrdv 3203	. 2 |- ( ph -> dom L C_ om )
28	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
29	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> F : om -onto-> A )
30	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
31		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. om )
32	28, 29, 30, 17, 18, 19, 20, 31	ennnfonelemhom 12861	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
33	32, 8	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
34	33, 4	eleqtrrdi 2300	. 2 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. dom L )
35	27, 34	eqelssd 3216	1 |- ( ph -> dom L = om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   A.wral 2485   E.wrex 2486   u. cun 3168   (/)c0 3464   ifcif 3575   {csn 3638   <.cop 3641   U_ciun 3933   |-> cmpt 4113   suc csuc 4420   omcom 4646   `'ccnv 4682   dom cdm 4683   "cima 4686   -onto->wfo 5278   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   e. cmpo 5959  freccfrec 6489   ^pm cpm 6749   0cc0 7945   1c1 7946   + caddc 7948   - cmin 8263   NN0cn0 9315   ZZcz 9392   seqcseq 10614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pm 6751  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-inn 9057  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-seqfrec 10615

This theorem is referenced by:  ennnfonelemen  12867