Theorem ennnfonelemdm 12824

Description: Lemma for ennnfone 12829. The function L is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdm	|- ( ph -> dom L = om )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, n   x, F, y, k   j, G   i, H, j, k, n   x, H, y, i   j, J   i, L, j, x, y   j, N, k, n   x, N, y   ph, i, j, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( k, n)   N( i)

Proof of Theorem ennnfonelemdm

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
2	1	dmeqi 4880	. . . . . . . . . 10 |- dom L = dom U_ i e. NN0 ( H ` i )
3		dmiun 4888	. . . . . . . . . 10 |- dom U_ i e. NN0 ( H ` i ) = U_ i e. NN0 dom ( H ` i )
4	2, 3	eqtri 2226	. . . . . . . . 9 |- dom L = U_ i e. NN0 dom ( H ` i )
5	4	eleq2i 2272	. . . . . . . 8 |- ( m e. dom L <-> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
6	5	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( m e. dom L -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
8		eliun 3931	. . . . . 6 |- ( m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
10		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> m e. dom ( H ` i ) )
11		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
13		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> F : om -onto-> A )
15		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
17		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
18		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
19		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
20		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 |- H = seq 0 ( G , J )
21		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> i e. NN0 )
22	12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ennnfonelemom 12812	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> dom ( H ` i ) e. om )
23		elnn 4655	. . . . . 6 |- ( ( m e. dom ( H ` i ) /\ dom ( H ` i ) e. om ) -> m e. om )
24	10, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> m e. om )
25	9, 24	rexlimddv 2628	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> m e. om )
26	25	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( m e. dom L -> m e. om ) )
27	26	ssrdv 3199	. 2 |- ( ph -> dom L C_ om )
28	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
29	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> F : om -onto-> A )
30	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
31		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. om )
32	28, 29, 30, 17, 18, 19, 20, 31	ennnfonelemhom 12819	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
33	32, 8	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
34	33, 4	eleqtrrdi 2299	. 2 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. dom L )
35	27, 34	eqelssd 3212	1 |- ( ph -> dom L = om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   A.wral 2484   E.wrex 2485   u. cun 3164   (/)c0 3460   ifcif 3571   {csn 3633   <.cop 3636   U_ciun 3927   |-> cmpt 4106   suc csuc 4413   omcom 4639   `'ccnv 4675   dom cdm 4676   "cima 4679   -onto->wfo 5270   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948  freccfrec 6478   ^pm cpm 6738   0cc0 7927   1c1 7928   + caddc 7930   - cmin 8245   NN0cn0 9297   ZZcz 9374   seqcseq 10594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-ilim 4417  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-frec 6479  df-pm 6740  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-uz 9651  df-seqfrec 10595

This theorem is referenced by:  ennnfonelemen  12825