ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ennnfonelemdm Unicode version

Theorem ennnfonelemdm 11944
Description: Lemma for ennnfone 11949. The function  L is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
ennnfone.l  |-  L  = 
U_ i  e.  NN0  ( H `  i )
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemdm  |-  ( ph  ->  dom  L  =  om )
Distinct variable groups:    A, j, x, y    j, F, k, n    x, F, y, k    j, G    i, H, j, k, n    x, H, y, i    j, J   
i, L, j, x, y    j, N, k, n    x, N, y    ph, i, j, k, n    ph, x, y
Allowed substitution hints:    A( i, k, n)    F( i)    G( x, y, i, k, n)    J( x, y, i, k, n)    L( k, n)    N( i)

Proof of Theorem ennnfonelemdm
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfone.l . . . . . . . . . . 11  |-  L  = 
U_ i  e.  NN0  ( H `  i )
21dmeqi 4740 . . . . . . . . . 10  |-  dom  L  =  dom  U_ i  e.  NN0  ( H `  i )
3 dmiun 4748 . . . . . . . . . 10  |-  dom  U_ i  e.  NN0  ( H `  i )  =  U_ i  e.  NN0  dom  ( H `  i )
42, 3eqtri 2160 . . . . . . . . 9  |-  dom  L  =  U_ i  e.  NN0  dom  ( H `  i
)
54eleq2i 2206 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  dom  L  <->  m  e.  U_ i  e.  NN0  dom  ( H `  i ) )
65biimpi 119 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  dom  L  ->  m  e.  U_ i  e. 
NN0  dom  ( H `  i ) )
76adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  dom  L )  ->  m  e.  U_ i  e.  NN0  dom  ( H `  i
) )
8 eliun 3817 . . . . . 6  |-  ( m  e.  U_ i  e. 
NN0  dom  ( H `  i )  <->  E. i  e.  NN0  m  e.  dom  ( H `  i ) )
97, 8sylib 121 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  dom  L )  ->  E. i  e.  NN0  m  e.  dom  ( H `  i ) )
10 simprr 521 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  dom  L )  /\  ( i  e.  NN0  /\  m  e.  dom  ( H `  i )
) )  ->  m  e.  dom  ( H `  i ) )
11 ennnfonelemh.dceq . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
1211ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  dom  L )  /\  ( i  e.  NN0  /\  m  e.  dom  ( H `  i )
) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
13 ennnfonelemh.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
1413ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  dom  L )  /\  ( i  e.  NN0  /\  m  e.  dom  ( H `  i )
) )  ->  F : om -onto-> A )
15 ennnfonelemh.ne . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
1615ad2antrr 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  dom  L )  /\  ( i  e.  NN0  /\  m  e.  dom  ( H `  i )
) )  ->  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j )
)
17 ennnfonelemh.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
18 ennnfonelemh.n . . . . . . 7  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
19 ennnfonelemh.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
20 ennnfonelemh.h . . . . . . 7  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
21 simprl 520 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  dom  L )  /\  ( i  e.  NN0  /\  m  e.  dom  ( H `  i )
) )  ->  i  e.  NN0 )
2212, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21ennnfonelemom 11932 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  dom  L )  /\  ( i  e.  NN0  /\  m  e.  dom  ( H `  i )
) )  ->  dom  ( H `  i )  e.  om )
23 elnn 4519 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  dom  ( H `  i )  /\  dom  ( H `  i )  e.  om )  ->  m  e.  om )
2410, 22, 23syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  dom  L )  /\  ( i  e.  NN0  /\  m  e.  dom  ( H `  i )
) )  ->  m  e.  om )
259, 24rexlimddv 2554 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  dom  L )  ->  m  e.  om )
2625ex 114 . . 3  |-  ( ph  ->  ( m  e.  dom  L  ->  m  e.  om ) )
2726ssrdv 3103 . 2  |-  ( ph  ->  dom  L  C_  om )
2811adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
2913adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  F : om -onto-> A )
3015adantr 274 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j )
)
31 simpr 109 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  m  e.  om )
3228, 29, 30, 17, 18, 19, 20, 31ennnfonelemhom 11939 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  E. i  e.  NN0  m  e.  dom  ( H `  i ) )
3332, 8sylibr 133 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  m  e.  U_ i  e.  NN0  dom  ( H `  i ) )
3433, 4eleqtrrdi 2233 . 2  |-  ( (
ph  /\  m  e.  om )  ->  m  e.  dom  L )
3527, 34eqelssd 3116 1  |-  ( ph  ->  dom  L  =  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 819    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417    u. cun 3069   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   <.cop 3530   U_ciun 3813    |-> cmpt 3989   suc csuc 4287   omcom 4504   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   "cima 4542   -onto->wfo 5121   ` cfv 5123  (class class class)co 5774    e. cmpo 5776  freccfrec 6287    ^pm cpm 6543   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    - cmin 7945   NN0cn0 8989   ZZcz 9066    seqcseq 10230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-ltadd 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-seqfrec 10231
This theorem is referenced by:  ennnfonelemen  11945
  Copyright terms: Public domain W3C validator