Theorem ennnfonelemdm 12446

Description: Lemma for ennnfone 12451. The function L is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdm	|- ( ph -> dom L = om )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, n   x, F, y, k   j, G   i, H, j, k, n   x, H, y, i   j, J   i, L, j, x, y   j, N, k, n   x, N, y   ph, i, j, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( k, n)   N( i)

Proof of Theorem ennnfonelemdm

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
2	1	dmeqi 4843	. . . . . . . . . 10 |- dom L = dom U_ i e. NN0 ( H ` i )
3		dmiun 4851	. . . . . . . . . 10 |- dom U_ i e. NN0 ( H ` i ) = U_ i e. NN0 dom ( H ` i )
4	2, 3	eqtri 2210	. . . . . . . . 9 |- dom L = U_ i e. NN0 dom ( H ` i )
5	4	eleq2i 2256	. . . . . . . 8 |- ( m e. dom L <-> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
6	5	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( m e. dom L -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
8		eliun 3905	. . . . . 6 |- ( m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
10		simprr 531	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> m e. dom ( H ` i ) )
11		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
13		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> F : om -onto-> A )
15		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
17		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
18		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
19		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
20		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 |- H = seq 0 ( G , J )
21		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> i e. NN0 )
22	12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ennnfonelemom 12434	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> dom ( H ` i ) e. om )
23		elnn 4620	. . . . . 6 |- ( ( m e. dom ( H ` i ) /\ dom ( H ` i ) e. om ) -> m e. om )
24	10, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> m e. om )
25	9, 24	rexlimddv 2612	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> m e. om )
26	25	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( m e. dom L -> m e. om ) )
27	26	ssrdv 3176	. 2 |- ( ph -> dom L C_ om )
28	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
29	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> F : om -onto-> A )
30	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
31		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. om )
32	28, 29, 30, 17, 18, 19, 20, 31	ennnfonelemhom 12441	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
33	32, 8	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
34	33, 4	eleqtrrdi 2283	. 2 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. dom L )
35	27, 34	eqelssd 3189	1 |- ( ph -> dom L = om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   A.wral 2468   E.wrex 2469   u. cun 3142   (/)c0 3437   ifcif 3549   {csn 3607   <.cop 3610   U_ciun 3901   |-> cmpt 4079   suc csuc 4380   omcom 4604   `'ccnv 4640   dom cdm 4641   "cima 4644   -onto->wfo 5230   ` cfv 5232  (class class class)co 5892   e. cmpo 5894  freccfrec 6410   ^pm cpm 6668   0cc0 7831   1c1 7832   + caddc 7834   - cmin 8148   NN0cn0 9196   ZZcz 9273   seqcseq 10465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-addcom 7931  ax-addass 7933  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-ltadd 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-pm 6670  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-inn 8940  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-seqfrec 10466

This theorem is referenced by:  ennnfonelemen  12447