Theorem ennnfonelemdm 13255

Description: Lemma for ennnfone 13260. The function L is defined everywhere. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfone.l	|- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemdm	|- ( ph -> dom L = om )

Distinct variable groups:   A, j, x, y   j, F, k, n   x, F, y, k   j, G   i, H, j, k, n   x, H, y, i   j, J   i, L, j, x, y   j, N, k, n   x, N, y   ph, i, j, k, n   ph, x, y

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   L( k, n)   N( i)

Proof of Theorem ennnfonelemdm

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfone.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = U_ i e. NN0 ( H ` i )
2	1	dmeqi 4962	. . . . . . . . . 10 |- dom L = dom U_ i e. NN0 ( H ` i )
3		dmiun 4970	. . . . . . . . . 10 |- dom U_ i e. NN0 ( H ` i ) = U_ i e. NN0 dom ( H ` i )
4	2, 3	eqtri 2255	. . . . . . . . 9 |- dom L = U_ i e. NN0 dom ( H ` i )
5	4	eleq2i 2301	. . . . . . . 8 |- ( m e. dom L <-> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
6	5	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( m e. dom L -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
8		eliun 4000	. . . . . 6 |- ( m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
9	7, 8	sylib 122	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
10		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> m e. dom ( H ` i ) )
11		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
12	11	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
13		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> F : om -onto-> A )
15		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
16	15	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
17		ennnfonelemh.g	. . . . . . 7 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
18		ennnfonelemh.n	. . . . . . 7 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
19		ennnfonelemh.j	. . . . . . 7 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
20		ennnfonelemh.h	. . . . . . 7 |- H = seq 0 ( G , J )
21		simprl 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> i e. NN0 )
22	12, 14, 16, 17, 18, 19, 20, 21	ennnfonelemom 13243	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> dom ( H ` i ) e. om )
23		elnn 4733	. . . . . 6 |- ( ( m e. dom ( H ` i ) /\ dom ( H ` i ) e. om ) -> m e. om )
24	10, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. dom L ) /\ ( i e. NN0 /\ m e. dom ( H ` i ) ) ) -> m e. om )
25	9, 24	rexlimddv 2667	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. dom L ) -> m e. om )
26	25	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( m e. dom L -> m e. om ) )
27	26	ssrdv 3248	. 2 |- ( ph -> dom L C_ om )
28	11	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
29	13	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> F : om -onto-> A )
30	15	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
31		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. om )
32	28, 29, 30, 17, 18, 19, 20, 31	ennnfonelemhom 13250	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> E. i e. NN0 m e. dom ( H ` i ) )
33	32, 8	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. U_ i e. NN0 dom ( H ` i ) )
34	33, 4	eleqtrrdi 2328	. 2 |- ( ( ph /\ m e. om ) -> m e. dom L )
35	27, 34	eqelssd 3261	1 |- ( ph -> dom L = om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   u. cun 3212   (/)c0 3512   ifcif 3624   {csn 3694   <.cop 3697   U_ciun 3996   |-> cmpt 4176   suc csuc 4491   omcom 4717   `'ccnv 4753   dom cdm 4754   "cima 4757   -onto->wfo 5355   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   e. cmpo 6060  freccfrec 6634   ^pm cpm 6896   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   - cmin 8460   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   seqcseq 10833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pm 6898  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834

This theorem is referenced by:  ennnfonelemen  13256