Theorem ecidg 6501

Description: A set is equal to its converse epsilon coset. (Note: converse epsilon is not an equivalence relation.) (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ecidg	|- ( A e. V -> [ A ] `' _E = A )

Proof of Theorem ecidg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2692	. . . 4 |- y e. _V
2		elecg 6475	. . . 4 |- ( ( y e. _V /\ A e. V ) -> ( y e. [ A ] `' _E <-> A `' _E y ) )
3	1, 2	mpan 421	. . 3 |- ( A e. V -> ( y e. [ A ] `' _E <-> A `' _E y ) )
4		brcnvg 4728	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ y e. _V ) -> ( A `' _E y <-> y _E A ) )
5	1, 4	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. V -> ( A `' _E y <-> y _E A ) )
6		epelg 4220	. . 3 |- ( A e. V -> ( y _E A <-> y e. A ) )
7	3, 5, 6	3bitrd 213	. 2 |- ( A e. V -> ( y e. [ A ] `' _E <-> y e. A ) )
8	7	eqrdv 2138	1 |- ( A e. V -> [ A ] `' _E = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   _E cep 4217   `'ccnv 4546   [cec 6435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-eprel 4219  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-ec 6439

This theorem is referenced by:  addcnsrec  7674  mulcnsrec  7675