Theorem ecidg 6544

Description: A set is equal to its converse epsilon coset. (Note: converse epsilon is not an equivalence relation.) (Contributed by Jim Kingdon, 8-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ecidg	|- ( A e. V -> [ A ] `' _E = A )

Proof of Theorem ecidg

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2715	. . . 4 |- y e. _V
2		elecg 6518	. . . 4 |- ( ( y e. _V /\ A e. V ) -> ( y e. [ A ] `' _E <-> A `' _E y ) )
3	1, 2	mpan 421	. . 3 |- ( A e. V -> ( y e. [ A ] `' _E <-> A `' _E y ) )
4		brcnvg 4767	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ y e. _V ) -> ( A `' _E y <-> y _E A ) )
5	1, 4	mpan2 422	. . 3 |- ( A e. V -> ( A `' _E y <-> y _E A ) )
6		epelg 4250	. . 3 |- ( A e. V -> ( y _E A <-> y e. A ) )
7	3, 5, 6	3bitrd 213	. 2 |- ( A e. V -> ( y e. [ A ] `' _E <-> y e. A ) )
8	7	eqrdv 2155	1 |- ( A e. V -> [ A ] `' _E = A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   class class class wbr 3965   _E cep 4247   `'ccnv 4585   [cec 6478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-eprel 4249  df-xp 4592  df-cnv 4594  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-ec 6482

This theorem is referenced by:  addcnsrec  7762  mulcnsrec  7763