Theorem addcnsrec 7433

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 7432 and mulcnsrec 7434. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	|- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E )

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 7425	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. + <. C , D >. ) = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
2		opelxpi 4482	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> <. A , B >. e. ( R. X. R. ) )
3		ecidg 6370	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
5		opelxpi 4482	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> <. C , D >. e. ( R. X. R. ) )
6		ecidg 6370	. . . 4 |- ( <. C , D >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
8	4, 7	oveqan12d 5685	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = ( <. A , B >. + <. C , D >. ) )
9		addclsr 7353	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A +R C ) e. R. )
10	9	ad2ant2r 494	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A +R C ) e. R. )
11		addclsr 7353	. . . . 5 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B +R D ) e. R. )
12	11	ad2ant2l 493	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B +R D ) e. R. )
13		opelxpi 4482	. . . 4 |- ( ( ( A +R C ) e. R. /\ ( B +R D ) e. R. ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
14	10, 12, 13	syl2anc 404	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
15		ecidg 6370	. . 3 |- ( <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
17	1, 8, 16	3eqtr4d 2131	1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   <.cop 3453   _E cep 4123   X. cxp 4449   `'ccnv 4450  (class class class)co 5666   [cec 6304   R.cnr 6910   +R cplr 6914   + caddc 7407

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-po 4132  df-iso 4133  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-1o 6195  df-2o 6196  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-pli 6918  df-mi 6919  df-lti 6920  df-plpq 6957  df-mpq 6958  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-plqqs 6962  df-mqqs 6963  df-1nqqs 6964  df-rq 6965  df-ltnqqs 6966  df-enq0 7037  df-nq0 7038  df-0nq0 7039  df-plq0 7040  df-mq0 7041  df-inp 7079  df-iplp 7081  df-enr 7326  df-nr 7327  df-plr 7328  df-c 7410  df-add 7415

This theorem is referenced by:  axaddass  7461  axdistr  7463