Theorem addcnsrec 7837

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 7836 and mulcnsrec 7838. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	|- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E )

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 7829	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. + <. C , D >. ) = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
2		opelxpi 4657	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> <. A , B >. e. ( R. X. R. ) )
3		ecidg 6595	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
5		opelxpi 4657	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> <. C , D >. e. ( R. X. R. ) )
6		ecidg 6595	. . . 4 |- ( <. C , D >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
8	4, 7	oveqan12d 5890	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = ( <. A , B >. + <. C , D >. ) )
9		addclsr 7748	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A +R C ) e. R. )
10	9	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A +R C ) e. R. )
11		addclsr 7748	. . . . 5 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B +R D ) e. R. )
12	11	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B +R D ) e. R. )
13		opelxpi 4657	. . . 4 |- ( ( ( A +R C ) e. R. /\ ( B +R D ) e. R. ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
15		ecidg 6595	. . 3 |- ( <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
17	1, 8, 16	3eqtr4d 2220	1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3595   _E cep 4286   X. cxp 4623   `'ccnv 4624  (class class class)co 5871   [cec 6529   R.cnr 7292   +R cplr 7296   + caddc 7810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-eprel 4288  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-1o 6413  df-2o 6414  df-oadd 6417  df-omul 6418  df-er 6531  df-ec 6533  df-qs 6537  df-ni 7299  df-pli 7300  df-mi 7301  df-lti 7302  df-plpq 7339  df-mpq 7340  df-enq 7342  df-nqqs 7343  df-plqqs 7344  df-mqqs 7345  df-1nqqs 7346  df-rq 7347  df-ltnqqs 7348  df-enq0 7419  df-nq0 7420  df-0nq0 7421  df-plq0 7422  df-mq0 7423  df-inp 7461  df-iplp 7463  df-enr 7721  df-nr 7722  df-plr 7723  df-c 7813  df-add 7818

This theorem is referenced by:  axaddass  7867  axdistr  7869