ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcnsrec Unicode version

Theorem addcnsrec 7657
Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 7656 and mulcnsrec 7658. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcnsrec  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] `'  _E  +  [ <. C ,  D >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( A  +R  C
) ,  ( B  +R  D ) >. ] `'  _E  )

Proof of Theorem addcnsrec
StepHypRef Expression
1 addcnsr 7649 . 2  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  +  <. C ,  D >. )  =  <. ( A  +R  C ) ,  ( B  +R  D )
>. )
2 opelxpi 4571 . . . 4  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( R.  X.  R. ) )
3 ecidg 6493 . . . 4  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( R.  X.  R. )  ->  [ <. A ,  B >. ] `'  _E  =  <. A ,  B >. )
42, 3syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  [ <. A ,  B >. ] `'  _E  =  <. A ,  B >. )
5 opelxpi 4571 . . . 4  |-  ( ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( R.  X.  R. ) )
6 ecidg 6493 . . . 4  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( R.  X.  R. )  ->  [ <. C ,  D >. ] `'  _E  =  <. C ,  D >. )
75, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )  ->  [ <. C ,  D >. ] `'  _E  =  <. C ,  D >. )
84, 7oveqan12d 5793 . 2  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] `'  _E  +  [ <. C ,  D >. ] `'  _E  )  =  ( <. A ,  B >.  + 
<. C ,  D >. ) )
9 addclsr 7568 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  R.  /\  C  e.  R. )  ->  ( A  +R  C
)  e.  R. )
109ad2ant2r 500 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( A  +R  C )  e.  R. )
11 addclsr 7568 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  R.  /\  D  e.  R. )  ->  ( B  +R  D
)  e.  R. )
1211ad2ant2l 499 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( B  +R  D )  e.  R. )
13 opelxpi 4571 . . . 4  |-  ( ( ( A  +R  C
)  e.  R.  /\  ( B  +R  D
)  e.  R. )  -> 
<. ( A  +R  C
) ,  ( B  +R  D ) >.  e.  ( R.  X.  R. ) )
1410, 12, 13syl2anc 408 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  <. ( A  +R  C ) ,  ( B  +R  D
) >.  e.  ( R. 
X.  R. ) )
15 ecidg 6493 . . 3  |-  ( <.
( A  +R  C
) ,  ( B  +R  D ) >.  e.  ( R.  X.  R. )  ->  [ <. ( A  +R  C ) ,  ( B  +R  D
) >. ] `'  _E  =  <. ( A  +R  C ) ,  ( B  +R  D )
>. )
1614, 15syl 14 . 2  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  [ <. ( A  +R  C ) ,  ( B  +R  D
) >. ] `'  _E  =  <. ( A  +R  C ) ,  ( B  +R  D )
>. )
171, 8, 163eqtr4d 2182 1  |-  ( ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  /\  ( C  e.  R.  /\  D  e.  R. )
)  ->  ( [ <. A ,  B >. ] `'  _E  +  [ <. C ,  D >. ] `'  _E  )  =  [ <. ( A  +R  C
) ,  ( B  +R  D ) >. ] `'  _E  )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530    _E cep 4209    X. cxp 4537   `'ccnv 4538  (class class class)co 5774   [cec 6427   R.cnr 7112    +R cplr 7116    + caddc 7630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-pli 7120  df-mi 7121  df-lti 7122  df-plpq 7159  df-mpq 7160  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-plqqs 7164  df-mqqs 7165  df-1nqqs 7166  df-rq 7167  df-ltnqqs 7168  df-enq0 7239  df-nq0 7240  df-0nq0 7241  df-plq0 7242  df-mq0 7243  df-inp 7281  df-iplp 7283  df-enr 7541  df-nr 7542  df-plr 7543  df-c 7633  df-add 7638
This theorem is referenced by:  axaddass  7687  axdistr  7689
  Copyright terms: Public domain W3C validator