Theorem addcnsrec 8157

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 8156 and mulcnsrec 8158. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	|- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E )

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 8149	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. + <. C , D >. ) = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
2		opelxpi 4781	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> <. A , B >. e. ( R. X. R. ) )
3		ecidg 6833	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
5		opelxpi 4781	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> <. C , D >. e. ( R. X. R. ) )
6		ecidg 6833	. . . 4 |- ( <. C , D >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
8	4, 7	oveqan12d 6069	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = ( <. A , B >. + <. C , D >. ) )
9		addclsr 8068	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A +R C ) e. R. )
10	9	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A +R C ) e. R. )
11		addclsr 8068	. . . . 5 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B +R D ) e. R. )
12	11	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B +R D ) e. R. )
13		opelxpi 4781	. . . 4 |- ( ( ( A +R C ) e. R. /\ ( B +R D ) e. R. ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
15		ecidg 6833	. . 3 |- ( <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
17	1, 8, 16	3eqtr4d 2275	1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   <.cop 3692   _E cep 4408   X. cxp 4747   `'ccnv 4748  (class class class)co 6050   [cec 6765   R.cnr 7612   +R cplr 7616   + caddc 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-iplp 7783  df-enr 8041  df-nr 8042  df-plr 8043  df-c 8133  df-add 8138

This theorem is referenced by:  axaddass  8187  axdistr  8189