Theorem addcnsrec 8029

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 8028 and mulcnsrec 8030. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	|- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E )

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 8021	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. + <. C , D >. ) = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
2		opelxpi 4751	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> <. A , B >. e. ( R. X. R. ) )
3		ecidg 6746	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
5		opelxpi 4751	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> <. C , D >. e. ( R. X. R. ) )
6		ecidg 6746	. . . 4 |- ( <. C , D >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
8	4, 7	oveqan12d 6020	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = ( <. A , B >. + <. C , D >. ) )
9		addclsr 7940	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A +R C ) e. R. )
10	9	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A +R C ) e. R. )
11		addclsr 7940	. . . . 5 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B +R D ) e. R. )
12	11	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B +R D ) e. R. )
13		opelxpi 4751	. . . 4 |- ( ( ( A +R C ) e. R. /\ ( B +R D ) e. R. ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
15		ecidg 6746	. . 3 |- ( <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
17	1, 8, 16	3eqtr4d 2272	1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   _E cep 4378   X. cxp 4717   `'ccnv 4718  (class class class)co 6001   [cec 6678   R.cnr 7484   +R cplr 7488   + caddc 8002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-2o 6563  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-pli 7492  df-mi 7493  df-lti 7494  df-plpq 7531  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-plqqs 7536  df-mqqs 7537  df-1nqqs 7538  df-rq 7539  df-ltnqqs 7540  df-enq0 7611  df-nq0 7612  df-0nq0 7613  df-plq0 7614  df-mq0 7615  df-inp 7653  df-iplp 7655  df-enr 7913  df-nr 7914  df-plr 7915  df-c 8005  df-add 8010

This theorem is referenced by:  axaddass  8059  axdistr  8061