Theorem addcnsrec 8062

Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. See dfcnqs 8061 and mulcnsrec 8063. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcnsrec	|- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E )

Proof of Theorem addcnsrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcnsr 8054	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. + <. C , D >. ) = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
2		opelxpi 4757	. . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> <. A , B >. e. ( R. X. R. ) )
3		ecidg 6768	. . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
4	2, 3	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
5		opelxpi 4757	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> <. C , D >. e. ( R. X. R. ) )
6		ecidg 6768	. . . 4 |- ( <. C , D >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
7	5, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
8	4, 7	oveqan12d 6037	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = ( <. A , B >. + <. C , D >. ) )
9		addclsr 7973	. . . . 5 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A +R C ) e. R. )
10	9	ad2ant2r 509	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A +R C ) e. R. )
11		addclsr 7973	. . . . 5 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B +R D ) e. R. )
12	11	ad2ant2l 508	. . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B +R D ) e. R. )
13		opelxpi 4757	. . . 4 |- ( ( ( A +R C ) e. R. /\ ( B +R D ) e. R. ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
14	10, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) )
15		ecidg 6768	. . 3 |- ( <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
16	14, 15	syl 14	. 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E = <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. )
17	1, 8, 16	3eqtr4d 2274	1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E + [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( A +R C ) , ( B +R D ) >. ] `' _E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   <.cop 3672   _E cep 4384   X. cxp 4723   `'ccnv 4724  (class class class)co 6018   [cec 6700   R.cnr 7517   +R cplr 7521   + caddc 8035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-iplp 7688  df-enr 7946  df-nr 7947  df-plr 7948  df-c 8038  df-add 8043

This theorem is referenced by:  axaddass  8092  axdistr  8094