Theorem elecg 6421

Description: Membership in an equivalence class. Theorem 72 of [Suppes] p. 82. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elecg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. [ B ] R <-> B R A ) )

Proof of Theorem elecg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimasng 4865	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( A e. ( R " { B } ) <-> <. B , A >. e. R ) )
2	1	ancoms 266	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( R " { B } ) <-> <. B , A >. e. R ) )
3		df-ec 6385	. . 3 |- [ B ] R = ( R " { B } )
4	3	eleq2i 2181	. 2 |- ( A e. [ B ] R <-> A e. ( R " { B } ) )
5		df-br 3896	. 2 |- ( B R A <-> <. B , A >. e. R )
6	2, 4, 5	3bitr4g 222	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. [ B ] R <-> B R A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1463   {csn 3493   <.cop 3496   class class class wbr 3895   "cima 4502   [cec 6381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-sbc 2879  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-br 3896  df-opab 3950  df-xp 4505  df-cnv 4507  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-ec 6385

This theorem is referenced by:  elec  6422  relelec  6423  ecdmn0m  6425  erth  6427  ecidg  6447  qsel  6460  xmetec  12426  blpnfctr  12428  xmetresbl  12429