Theorem elecg 6460

Description: Membership in an equivalence class. Theorem 72 of [Suppes] p. 82. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elecg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. [ B ] R <-> B R A ) )

Proof of Theorem elecg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimasng 4902	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( A e. ( R " { B } ) <-> <. B , A >. e. R ) )
2	1	ancoms 266	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( R " { B } ) <-> <. B , A >. e. R ) )
3		df-ec 6424	. . 3 |- [ B ] R = ( R " { B } )
4	3	eleq2i 2204	. 2 |- ( A e. [ B ] R <-> A e. ( R " { B } ) )
5		df-br 3925	. 2 |- ( B R A <-> <. B , A >. e. R )
6	2, 4, 5	3bitr4g 222	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. [ B ] R <-> B R A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   {csn 3522   <.cop 3525   class class class wbr 3924   "cima 4537   [cec 6420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-ec 6424

This theorem is referenced by:  elec  6461  relelec  6462  ecdmn0m  6464  erth  6466  ecidg  6486  qsel  6499  xmetec  12595  blpnfctr  12597  xmetresbl  12598