Theorem elecg 6641

Description: Membership in an equivalence class. Theorem 72 of [Suppes] p. 82. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elecg	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. [ B ] R <-> B R A ) )

Proof of Theorem elecg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elimasng 5038	. . 3 |- ( ( B e. W /\ A e. V ) -> ( A e. ( R " { B } ) <-> <. B , A >. e. R ) )
2	1	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. ( R " { B } ) <-> <. B , A >. e. R ) )
3		df-ec 6603	. . 3 |- [ B ] R = ( R " { B } )
4	3	eleq2i 2263	. 2 |- ( A e. [ B ] R <-> A e. ( R " { B } ) )
5		df-br 4035	. 2 |- ( B R A <-> <. B , A >. e. R )
6	2, 4, 5	3bitr4g 223	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A e. [ B ] R <-> B R A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2167   {csn 3623   <.cop 3626   class class class wbr 4034   "cima 4667   [cec 6599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-ec 6603

This theorem is referenced by:  elec  6642  relelec  6643  ecdmn0m  6645  erth  6647  ecidg  6667  qsel  6680  xmetec  14757  blpnfctr  14759  xmetresbl  14760