ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcnsrec Unicode version
Theorem mulcnsrec 7792
Description: Technical trick to permit re-use of some equivalence class lemmas for operation laws. The trick involves ecidg 6573, which shows that the coset of the converse epsilon relation (which is not an equivalence relation) leaves a set unchanged. See also dfcnqs 7790. (Contributed by NM, 13-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulcnsrec |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E x. [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. ] `' _E )
Proof of Theorem mulcnsrec
StepHypRef Expression
1 mulcnsr 7784 . 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( <. A , B >. x. <. C , D >. ) = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
2 opelxpi 4641 . . . 4 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> <. A , B >. e. ( R. X. R. ) )
3 ecidg 6573 . . . 4 |- ( <. A , B >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
42, 3syl 14 . . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> [ <. A , B >. ] `' _E = <. A , B >. )
5 opelxpi 4641 . . . 4 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> <. C , D >. e. ( R. X. R. ) )
6 ecidg 6573 . . . 4 |- ( <. C , D >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
75, 6syl 14 . . 3 |- ( ( C e. R. /\ D e. R. ) -> [ <. C , D >. ] `' _E = <. C , D >. )
84, 7oveqan12d 5869 . 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E x. [ <. C , D >. ] `' _E ) = ( <. A , B >. x. <. C , D >. ) )
9 simpll 524 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> A e. R. )
10 simprl 526 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> C e. R. )
11 mulclsr 7703 . . . . . 6 |- ( ( A e. R. /\ C e. R. ) -> ( A .R C ) e. R. )
129, 10, 11syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A .R C ) e. R. )
13 m1r 7701 . . . . . 6 |- -1R e. R.
14 simplr 525 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> B e. R. )
15 simprr 527 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> D e. R. )
16 mulclsr 7703 . . . . . . 7 |- ( ( B e. R. /\ D e. R. ) -> ( B .R D ) e. R. )
1714, 15, 16syl2anc 409 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B .R D ) e. R. )
18 mulclsr 7703 . . . . . 6 |- ( ( -1R e. R. /\ ( B .R D ) e. R. ) -> ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. )
1913, 17, 18sylancr 412 . . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. )
20 addclsr 7702 . . . . 5 |- ( ( ( A .R C ) e. R. /\ ( -1R .R ( B .R D ) ) e. R. ) -> ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. )
2112, 19, 20syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. )
22 mulclsr 7703 . . . . . 6 |- ( ( B e. R. /\ C e. R. ) -> ( B .R C ) e. R. )
2314, 10, 22syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( B .R C ) e. R. )
24 mulclsr 7703 . . . . . 6 |- ( ( A e. R. /\ D e. R. ) -> ( A .R D ) e. R. )
259, 15, 24syl2anc 409 . . . . 5 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( A .R D ) e. R. )
26 addclsr 7702 . . . . 5 |- ( ( ( B .R C ) e. R. /\ ( A .R D ) e. R. ) -> ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. )
2723, 25, 26syl2anc 409 . . . 4 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. )
28 opelxpi 4641 . . . 4 |- ( ( ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) e. R. /\ ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) e. R. ) -> <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
2921, 27, 28syl2anc 409 . . 3 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. e. ( R. X. R. ) )
30 ecidg 6573 . . 3 |- ( <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. e. ( R. X. R. ) -> [ <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. ] `' _E = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
3129, 30syl 14 . 2 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> [ <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. ] `' _E = <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. )
321, 8, 313eqtr4d 2213 1 |- ( ( ( A e. R. /\ B e. R. ) /\ ( C e. R. /\ D e. R. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] `' _E x. [ <. C , D >. ] `' _E ) = [ <. ( ( A .R C ) +R ( -1R .R ( B .R D ) ) ) , ( ( B .R C ) +R ( A .R D ) ) >. ] `' _E )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3584   _E cep 4270   X. cxp 4607   `'ccnv 4608  (class class class)co 5850   [cec 6507   R.cnr 7246   -1Rcm1r 7249   +R cplr 7250   .R cmr 7251   x. cmul 7766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-2o 6393  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-pli 7254  df-mi 7255  df-lti 7256  df-plpq 7293  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-plqqs 7298  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302  df-enq0 7373  df-nq0 7374  df-0nq0 7375  df-plq0 7376  df-mq0 7377  df-inp 7415  df-i1p 7416  df-iplp 7417  df-imp 7418  df-enr 7675  df-nr 7676  df-plr 7677  df-mr 7678  df-m1r 7682  df-c 7767  df-mul 7773
This theorem is referenced by:  axmulcom  7820  axmulass  7822  axdistr  7823
  Copyright terms: Public domain W3C validator