Theorem ecopqsi 6347

Description: "Closure" law for equivalence class of ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecopqsi.1	|- R e. _V
ecopqsi.2	|- S = ( ( A X. A ) /. R )

Assertion

Ref	Expression
ecopqsi	|- ( ( B e. A /\ C e. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. S )

Proof of Theorem ecopqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4469	. 2 |- ( ( B e. A /\ C e. A ) -> <. B , C >. e. ( A X. A ) )
2		ecopqsi.1	. . . 4 |- R e. _V
3	2	ecelqsi 6346	. . 3 |- ( <. B , C >. e. ( A X. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. ( ( A X. A ) /. R ) )
4		ecopqsi.2	. . 3 |- S = ( ( A X. A ) /. R )
5	3, 4	syl6eleqr 2181	. 2 |- ( <. B , C >. e. ( A X. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. S )
6	1, 5	syl 14	1 |- ( ( B e. A /\ C e. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   <.cop 3449   X. cxp 4436   [cec 6290   /.cqs 6291

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-ec 6294  df-qs 6298

This theorem is referenced by:  brecop  6382  recexgt0sr  7319