Theorem ecopqsi 6556

Description: "Closure" law for equivalence class of ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecopqsi.1	|- R e. _V
ecopqsi.2	|- S = ( ( A X. A ) /. R )

Assertion

Ref	Expression
ecopqsi	|- ( ( B e. A /\ C e. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. S )

Proof of Theorem ecopqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4636	. 2 |- ( ( B e. A /\ C e. A ) -> <. B , C >. e. ( A X. A ) )
2		ecopqsi.1	. . . 4 |- R e. _V
3	2	ecelqsi 6555	. . 3 |- ( <. B , C >. e. ( A X. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. ( ( A X. A ) /. R ) )
4		ecopqsi.2	. . 3 |- S = ( ( A X. A ) /. R )
5	3, 4	eleqtrrdi 2260	. 2 |- ( <. B , C >. e. ( A X. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. S )
6	1, 5	syl 14	1 |- ( ( B e. A /\ C e. A ) -> [ <. B , C >. ] R e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   <.cop 3579   X. cxp 4602   [cec 6499   /.cqs 6500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-ec 6503  df-qs 6507

This theorem is referenced by:  brecop  6591  recexgt0sr  7714  ltpsrprg  7744