Theorem ecelqsi 6801

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6800	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 424	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   _Vcvv 2803   [cec 6743   /.cqs 6744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-ec 6747  df-qs 6751

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6802  th3q  6852  1nq  7629  addclnq  7638  mulclnq  7639  recexnq  7653  ltexnqq  7671  prarloclemarch  7681  prarloclemarch2  7682  nnnq  7685  nqnq0  7704  addnnnq0  7712  mulnnnq0  7713  addclnq0  7714  mulclnq0  7715  nqpnq0nq  7716  prarloclemlt  7756  prarloclemlo  7757  prarloclemcalc  7765  nqprm  7805  addsrpr  8008  mulsrpr  8009  0r  8013  1sr  8014  m1r  8015  addclsr  8016  mulclsr  8017  prsrcl  8047  mappsrprg  8067  suplocsrlemb  8069  pitonnlem2  8110  pitonn  8111  pitore  8113  recnnre  8114