Theorem ecelqsi 6863

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6862	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 428	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   [cec 6805   /.cqs 6806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-ec 6809  df-qs 6813

This theorem is used by:  ecopqsi  6864  th3q  6914  1nq  7733  addclnq  7742  mulclnq  7743  recexnq  7757  ltexnqq  7775  prarloclemarch  7785  prarloclemarch2  7786  nnnq  7789  nqnq0  7808  addnnnq0  7816  mulnnnq0  7817  addclnq0  7818  mulclnq0  7819  nqpnq0nq  7820  prarloclemlt  7860  prarloclemlo  7861  prarloclemcalc  7869  nqprm  7909  addsrpr  8112  mulsrpr  8113  0r  8117  1sr  8118  m1r  8119  addclsr  8120  mulclsr  8121  prsrcl  8151  mappsrprg  8171  suplocsrlemb  8173  pitonnlem2  8214  pitonn  8215  pitore  8217  recnnre  8218