Theorem ecelqsi 6863

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6862	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 428	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   [cec 6805   /.cqs 6806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-cnv 4782  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-ec 6809  df-qs 6813

This theorem is used by:  ecopqsi  6864  th3q  6914  1nq  7734  addclnq  7743  mulclnq  7744  recexnq  7758  ltexnqq  7776  prarloclemarch  7786  prarloclemarch2  7787  nnnq  7790  nqnq0  7809  addnnnq0  7817  mulnnnq0  7818  addclnq0  7819  mulclnq0  7820  nqpnq0nq  7821  prarloclemlt  7861  prarloclemlo  7862  prarloclemcalc  7870  nqprm  7910  addsrpr  8113  mulsrpr  8114  0r  8118  1sr  8119  m1r  8120  addclsr  8121  mulclsr  8122  prsrcl  8152  mappsrprg  8172  suplocsrlemb  8174  pitonnlem2  8215  pitonn  8216  pitore  8218  recnnre  8219