Theorem ecelqsi 6853

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6852	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 428	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   [cec 6795   /.cqs 6796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-ec 6799  df-qs 6803

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6854  th3q  6904  1nq  7723  addclnq  7732  mulclnq  7733  recexnq  7747  ltexnqq  7765  prarloclemarch  7775  prarloclemarch2  7776  nnnq  7779  nqnq0  7798  addnnnq0  7806  mulnnnq0  7807  addclnq0  7808  mulclnq0  7809  nqpnq0nq  7810  prarloclemlt  7850  prarloclemlo  7851  prarloclemcalc  7859  nqprm  7899  addsrpr  8102  mulsrpr  8103  0r  8107  1sr  8108  m1r  8109  addclsr  8110  mulclsr  8111  prsrcl  8141  mappsrprg  8161  suplocsrlemb  8163  pitonnlem2  8204  pitonn  8205  pitore  8207  recnnre  8208