Theorem ecelqsi 6689

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6688	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 424	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   [cec 6631   /.cqs 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-xp 4689  df-cnv 4691  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-ec 6635  df-qs 6639

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6690  th3q  6740  1nq  7499  addclnq  7508  mulclnq  7509  recexnq  7523  ltexnqq  7541  prarloclemarch  7551  prarloclemarch2  7552  nnnq  7555  nqnq0  7574  addnnnq0  7582  mulnnnq0  7583  addclnq0  7584  mulclnq0  7585  nqpnq0nq  7586  prarloclemlt  7626  prarloclemlo  7627  prarloclemcalc  7635  nqprm  7675  addsrpr  7878  mulsrpr  7879  0r  7883  1sr  7884  m1r  7885  addclsr  7886  mulclsr  7887  prsrcl  7917  mappsrprg  7937  suplocsrlemb  7939  pitonnlem2  7980  pitonn  7981  pitore  7983  recnnre  7984