Theorem ecelqsi 6346

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6345	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 415	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   [cec 6290   /.cqs 6291

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-ec 6294  df-qs 6298

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6347  th3q  6397  1nq  6925  addclnq  6934  mulclnq  6935  recexnq  6949  ltexnqq  6967  prarloclemarch  6977  prarloclemarch2  6978  nnnq  6981  nqnq0  7000  addnnnq0  7008  mulnnnq0  7009  addclnq0  7010  mulclnq0  7011  nqpnq0nq  7012  prarloclemlt  7052  prarloclemlo  7053  prarloclemcalc  7061  nqprm  7101  addsrpr  7291  mulsrpr  7292  0r  7296  1sr  7297  m1r  7298  addclsr  7299  mulclsr  7300  prsrcl  7329  pitonnlem2  7384  pitonn  7385  pitore  7387  recnnre  7388