Theorem ecelqsi 6588

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6587	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 424	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   [cec 6532   /.cqs 6533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-xp 4632  df-cnv 4634  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-ec 6536  df-qs 6540

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6589  th3q  6639  1nq  7364  addclnq  7373  mulclnq  7374  recexnq  7388  ltexnqq  7406  prarloclemarch  7416  prarloclemarch2  7417  nnnq  7420  nqnq0  7439  addnnnq0  7447  mulnnnq0  7448  addclnq0  7449  mulclnq0  7450  nqpnq0nq  7451  prarloclemlt  7491  prarloclemlo  7492  prarloclemcalc  7500  nqprm  7540  addsrpr  7743  mulsrpr  7744  0r  7748  1sr  7749  m1r  7750  addclsr  7751  mulclsr  7752  prsrcl  7782  mappsrprg  7802  suplocsrlemb  7804  pitonnlem2  7845  pitonn  7846  pitore  7848  recnnre  7849