Theorem ecelqsi 6491

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6490	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 421	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481   _Vcvv 2689   [cec 6435   /.cqs 6436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-ec 6439  df-qs 6443

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6492  th3q  6542  1nq  7198  addclnq  7207  mulclnq  7208  recexnq  7222  ltexnqq  7240  prarloclemarch  7250  prarloclemarch2  7251  nnnq  7254  nqnq0  7273  addnnnq0  7281  mulnnnq0  7282  addclnq0  7283  mulclnq0  7284  nqpnq0nq  7285  prarloclemlt  7325  prarloclemlo  7326  prarloclemcalc  7334  nqprm  7374  addsrpr  7577  mulsrpr  7578  0r  7582  1sr  7583  m1r  7584  addclsr  7585  mulclsr  7586  prsrcl  7616  mappsrprg  7636  suplocsrlemb  7638  pitonnlem2  7679  pitonn  7680  pitore  7682  recnnre  7683