Theorem ecelqsi 6744

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6743	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 424	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   [cec 6686   /.cqs 6687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-ec 6690  df-qs 6694

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6745  th3q  6795  1nq  7564  addclnq  7573  mulclnq  7574  recexnq  7588  ltexnqq  7606  prarloclemarch  7616  prarloclemarch2  7617  nnnq  7620  nqnq0  7639  addnnnq0  7647  mulnnnq0  7648  addclnq0  7649  mulclnq0  7650  nqpnq0nq  7651  prarloclemlt  7691  prarloclemlo  7692  prarloclemcalc  7700  nqprm  7740  addsrpr  7943  mulsrpr  7944  0r  7948  1sr  7949  m1r  7950  addclsr  7951  mulclsr  7952  prsrcl  7982  mappsrprg  8002  suplocsrlemb  8004  pitonnlem2  8045  pitonn  8046  pitore  8048  recnnre  8049