Theorem ecelqsi 6579

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6578	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 424	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   [cec 6523   /.cqs 6524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-xp 4626  df-cnv 4628  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-ec 6527  df-qs 6531

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6580  th3q  6630  1nq  7340  addclnq  7349  mulclnq  7350  recexnq  7364  ltexnqq  7382  prarloclemarch  7392  prarloclemarch2  7393  nnnq  7396  nqnq0  7415  addnnnq0  7423  mulnnnq0  7424  addclnq0  7425  mulclnq0  7426  nqpnq0nq  7427  prarloclemlt  7467  prarloclemlo  7468  prarloclemcalc  7476  nqprm  7516  addsrpr  7719  mulsrpr  7720  0r  7724  1sr  7725  m1r  7726  addclsr  7727  mulclsr  7728  prsrcl  7758  mappsrprg  7778  suplocsrlemb  7780  pitonnlem2  7821  pitonn  7822  pitore  7824  recnnre  7825