Theorem ecelqsi 6856

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6855	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 428	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   [cec 6798   /.cqs 6799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-ec 6802  df-qs 6806

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6857  th3q  6907  1nq  7726  addclnq  7735  mulclnq  7736  recexnq  7750  ltexnqq  7768  prarloclemarch  7778  prarloclemarch2  7779  nnnq  7782  nqnq0  7801  addnnnq0  7809  mulnnnq0  7810  addclnq0  7811  mulclnq0  7812  nqpnq0nq  7813  prarloclemlt  7853  prarloclemlo  7854  prarloclemcalc  7862  nqprm  7902  addsrpr  8105  mulsrpr  8106  0r  8110  1sr  8111  m1r  8112  addclsr  8113  mulclsr  8114  prsrcl  8144  mappsrprg  8164  suplocsrlemb  8166  pitonnlem2  8207  pitonn  8208  pitore  8210  recnnre  8211