Theorem ecelqsi 6701

Description: Membership of an equivalence class in a quotient set. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ecelqsi.1	|- R e. _V

Assertion

Ref	Expression
ecelqsi	|- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Proof of Theorem ecelqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ecelqsi.1	. 2 |- R e. _V
2		ecelqsg 6700	. 2 |- ( ( R e. _V /\ B e. A ) -> [ B ] R e. ( A /. R ) )
3	1, 2	mpan 424	1 |- ( B e. A -> [ B ] R e. ( A /. R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   _Vcvv 2777   [cec 6643   /.cqs 6644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2779  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-xp 4700  df-cnv 4702  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-ec 6647  df-qs 6651

This theorem is referenced by:  ecopqsi  6702  th3q  6752  1nq  7516  addclnq  7525  mulclnq  7526  recexnq  7540  ltexnqq  7558  prarloclemarch  7568  prarloclemarch2  7569  nnnq  7572  nqnq0  7591  addnnnq0  7599  mulnnnq0  7600  addclnq0  7601  mulclnq0  7602  nqpnq0nq  7603  prarloclemlt  7643  prarloclemlo  7644  prarloclemcalc  7652  nqprm  7692  addsrpr  7895  mulsrpr  7896  0r  7900  1sr  7901  m1r  7902  addclsr  7903  mulclsr  7904  prsrcl  7934  mappsrprg  7954  suplocsrlemb  7956  pitonnlem2  7997  pitonn  7998  pitore  8000  recnnre  8001