Theorem ecopqsi 6644

Description: "Closure" law for equivalence class of ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecopqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V
ecopqsi.2	⊢ 𝑆 = ((𝐴 × 𝐴) / 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ecopqsi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem ecopqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4691	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
2		ecopqsi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
3	2	ecelqsi 6643	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅 ∈ ((𝐴 × 𝐴) / 𝑅))
4		ecopqsi.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((𝐴 × 𝐴) / 𝑅)
5	3, 4	eleqtrrdi 2287	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅 ∈ 𝑆)
6	1, 5	syl 14	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ⟨cop 3621   × cxp 4657  [cec 6585   / cqs 6586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-cnv 4667  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-ec 6589  df-qs 6593

This theorem is referenced by:  brecop  6679  recexgt0sr  7833  ltpsrprg  7863