Theorem ecopqsi 6824

Description: "Closure" law for equivalence class of ordered pairs. (Contributed by NM, 25-Mar-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
ecopqsi.1	⊢ 𝑅 ∈ V
ecopqsi.2	⊢ 𝑆 = ((𝐴 × 𝐴) / 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ecopqsi	⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅 ∈ 𝑆)

Proof of Theorem ecopqsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4781	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴))
2		ecopqsi.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ V
3	2	ecelqsi 6823	. . 3 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅 ∈ ((𝐴 × 𝐴) / 𝑅))
4		ecopqsi.2	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((𝐴 × 𝐴) / 𝑅)
5	3, 4	eleqtrrdi 2326	. 2 ⊢ (⟨𝐵, 𝐶⟩ ∈ (𝐴 × 𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅 ∈ 𝑆)
6	1, 5	syl 14	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → [⟨𝐵, 𝐶⟩]𝑅 ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ⟨cop 3692   × cxp 4747  [cec 6765   / cqs 6766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-ec 6769  df-qs 6773

This theorem is referenced by:  brecop  6859  recexgt0sr  8088  ltpsrprg  8118