Theorem ltpsrprg 7744

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltpsrprg	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) <-> A <P B ) )

Proof of Theorem ltpsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 987	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> A e. P. )
2		1pr 7495	. . . 4 |- 1P e. P.
3		enrex 7678	. . . . 5 |- ~R e. _V
4		df-nr 7668	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
5	3, 4	ecopqsi 6556	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
6	1, 2, 5	sylancl 410	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
7		simp2 988	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> B e. P. )
8	3, 4	ecopqsi 6556	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. )
9	7, 2, 8	sylancl 410	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. )
10		simp3 989	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> C e. R. )
11		ltasrg 7711	. . 3 |- ( ( [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. /\ [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) ) )
12	6, 9, 10, 11	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) ) )
13		addcomprg 7519	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A +P. 1P ) = ( 1P +P. A ) )
14	1, 2, 13	sylancl 410	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( A +P. 1P ) = ( 1P +P. A ) )
15	14	breq1d 3992	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
16	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> 1P e. P. )
17		ltsrprg 7688	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( B e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) ) )
18	1, 16, 7, 16, 17	syl22anc 1229	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) ) )
19		ltaprg 7560	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A <P B <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
20	1, 7, 16, 19	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( A <P B <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
21	15, 18, 20	3bitr4d 219	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> A <P B ) )
22	12, 21	bitr3d 189	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) <-> A <P B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   [cec 6499   P.cnp 7232   1Pc1p 7233   +P. cpp 7234   <P cltp 7236   ~R cer 7237   R.cnr 7238   +R cplr 7242   <R cltr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-ltr 7671

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7747  suplocsrlempr  7748  suplocsrlem  7749