Theorem ltpsrprg 8066

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltpsrprg	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) <-> A <P B ) )

Proof of Theorem ltpsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> A e. P. )
2		1pr 7817	. . . 4 |- 1P e. P.
3		enrex 8000	. . . . 5 |- ~R e. _V
4		df-nr 7990	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
5	3, 4	ecopqsi 6802	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
6	1, 2, 5	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
7		simp2 1025	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> B e. P. )
8	3, 4	ecopqsi 6802	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. )
9	7, 2, 8	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. )
10		simp3 1026	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> C e. R. )
11		ltasrg 8033	. . 3 |- ( ( [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. /\ [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) ) )
12	6, 9, 10, 11	syl3anc 1274	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) ) )
13		addcomprg 7841	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A +P. 1P ) = ( 1P +P. A ) )
14	1, 2, 13	sylancl 413	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( A +P. 1P ) = ( 1P +P. A ) )
15	14	breq1d 4103	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
16	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> 1P e. P. )
17		ltsrprg 8010	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( B e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) ) )
18	1, 16, 7, 16, 17	syl22anc 1275	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) ) )
19		ltaprg 7882	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A <P B <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
20	1, 7, 16, 19	syl3anc 1274	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( A <P B <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
21	15, 18, 20	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> A <P B ) )
22	12, 21	bitr3d 190	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) <-> A <P B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028   [cec 6743   P.cnp 7554   1Pc1p 7555   +P. cpp 7556   <P cltp 7558   ~R cer 7559   R.cnr 7560   +R cplr 7564   <R cltr 7566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7567  df-pli 7568  df-mi 7569  df-lti 7570  df-plpq 7607  df-mpq 7608  df-enq 7610  df-nqqs 7611  df-plqqs 7612  df-mqqs 7613  df-1nqqs 7614  df-rq 7615  df-ltnqqs 7616  df-enq0 7687  df-nq0 7688  df-0nq0 7689  df-plq0 7690  df-mq0 7691  df-inp 7729  df-i1p 7730  df-iplp 7731  df-iltp 7733  df-enr 7989  df-nr 7990  df-plr 7991  df-ltr 7993

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  8069  suplocsrlempr  8070  suplocsrlem  8071