Theorem ltpsrprg 7986

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltpsrprg	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) <-> A <P B ) )

Proof of Theorem ltpsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1021	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> A e. P. )
2		1pr 7737	. . . 4 |- 1P e. P.
3		enrex 7920	. . . . 5 |- ~R e. _V
4		df-nr 7910	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
5	3, 4	ecopqsi 6735	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
6	1, 2, 5	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
7		simp2 1022	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> B e. P. )
8	3, 4	ecopqsi 6735	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. )
9	7, 2, 8	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. )
10		simp3 1023	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> C e. R. )
11		ltasrg 7953	. . 3 |- ( ( [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. /\ [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) ) )
12	6, 9, 10, 11	syl3anc 1271	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) ) )
13		addcomprg 7761	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A +P. 1P ) = ( 1P +P. A ) )
14	1, 2, 13	sylancl 413	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( A +P. 1P ) = ( 1P +P. A ) )
15	14	breq1d 4092	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
16	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> 1P e. P. )
17		ltsrprg 7930	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( B e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) ) )
18	1, 16, 7, 16, 17	syl22anc 1272	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) ) )
19		ltaprg 7802	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A <P B <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
20	1, 7, 16, 19	syl3anc 1271	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( A <P B <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
21	15, 18, 20	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> A <P B ) )
22	12, 21	bitr3d 190	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) <-> A <P B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   <.cop 3669   class class class wbr 4082  (class class class)co 6000   [cec 6676   P.cnp 7474   1Pc1p 7475   +P. cpp 7476   <P cltp 7478   ~R cer 7479   R.cnr 7480   +R cplr 7484   <R cltr 7486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-eprel 4379  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-2o 6561  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-pli 7488  df-mi 7489  df-lti 7490  df-plpq 7527  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-plqqs 7532  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535  df-ltnqqs 7536  df-enq0 7607  df-nq0 7608  df-0nq0 7609  df-plq0 7610  df-mq0 7611  df-inp 7649  df-i1p 7650  df-iplp 7651  df-iltp 7653  df-enr 7909  df-nr 7910  df-plr 7911  df-ltr 7913

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7989  suplocsrlempr  7990  suplocsrlem  7991