Theorem ltpsrprg 7765

Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ltpsrprg	|- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) <-> A <P B ) )

Proof of Theorem ltpsrprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 992	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> A e. P. )
2		1pr 7516	. . . 4 |- 1P e. P.
3		enrex 7699	. . . . 5 |- ~R e. _V
4		df-nr 7689	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
5	3, 4	ecopqsi 6568	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
6	1, 2, 5	sylancl 411	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. )
7		simp2 993	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> B e. P. )
8	3, 4	ecopqsi 6568	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ 1P e. P. ) -> [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. )
9	7, 2, 8	sylancl 411	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. )
10		simp3 994	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> C e. R. )
11		ltasrg 7732	. . 3 |- ( ( [ <. A , 1P >. ] ~R e. R. /\ [ <. B , 1P >. ] ~R e. R. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) ) )
12	6, 9, 10, 11	syl3anc 1233	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) ) )
13		addcomprg 7540	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A +P. 1P ) = ( 1P +P. A ) )
14	1, 2, 13	sylancl 411	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( A +P. 1P ) = ( 1P +P. A ) )
15	14	breq1d 3999	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
16	2	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> 1P e. P. )
17		ltsrprg 7709	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( B e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) ) )
18	1, 16, 7, 16, 17	syl22anc 1234	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> ( A +P. 1P ) <P ( 1P +P. B ) ) )
19		ltaprg 7581	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( A <P B <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
20	1, 7, 16, 19	syl3anc 1233	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( A <P B <-> ( 1P +P. A ) <P ( 1P +P. B ) ) )
21	15, 18, 20	3bitr4d 219	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( [ <. A , 1P >. ] ~R <R [ <. B , 1P >. ] ~R <-> A <P B ) )
22	12, 21	bitr3d 189	1 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. A , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. B , 1P >. ] ~R ) <-> A <P B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   [cec 6511   P.cnp 7253   1Pc1p 7254   +P. cpp 7255   <P cltp 7257   ~R cer 7258   R.cnr 7259   +R cplr 7263   <R cltr 7265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-iltp 7432  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-ltr 7692

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7768  suplocsrlempr  7769  suplocsrlem  7770