ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltpsrprg Unicode version

Theorem ltpsrprg 7718
Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltpsrprg  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  (
( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A 
<P  B ) )

Proof of Theorem ltpsrprg
StepHypRef Expression
1 simp1 982 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  A  e.  P. )
2 1pr 7469 . . . 4  |-  1P  e.  P.
3 enrex 7652 . . . . 5  |-  ~R  e.  _V
4 df-nr 7642 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
53, 4ecopqsi 6532 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  e.  R. )
61, 2, 5sylancl 410 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  e.  R. )
7 simp2 983 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  B  e.  P. )
83, 4ecopqsi 6532 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  e.  R. )
97, 2, 8sylancl 410 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  e.  R. )
10 simp3 984 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  C  e.  R. )
11 ltasrg 7685 . . 3  |-  ( ( [ <. A ,  1P >. ]  ~R  e.  R.  /\ 
[ <. B ,  1P >. ]  ~R  e.  R.  /\  C  e.  R. )  ->  ( [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. B ,  1P >. ]  ~R  <->  ( C  +R  [
<. A ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  )
) )
126, 9, 10, 11syl3anc 1220 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  ( [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  <->  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. B ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
13 addcomprg 7493 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( A  +P.  1P )  =  ( 1P  +P.  A ) )
141, 2, 13sylancl 410 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  ( A  +P.  1P )  =  ( 1P  +P.  A
) )
1514breq1d 3975 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  (
( A  +P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  B )  <->  ( 1P  +P.  A )  <P  ( 1P  +P.  B ) ) )
162a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  1P  e.  P. )
17 ltsrprg 7662 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  ( B  e.  P.  /\  1P  e.  P. )
)  ->  ( [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  <->  ( A  +P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  B ) ) )
181, 16, 7, 16, 17syl22anc 1221 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  ( [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  <->  ( A  +P.  1P ) 
<P  ( 1P  +P.  B
) ) )
19 ltaprg 7534 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( A  <P  B  <->  ( 1P  +P.  A )  <P  ( 1P  +P.  B ) ) )
201, 7, 16, 19syl3anc 1220 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  ( A  <P  B  <->  ( 1P  +P.  A )  <P  ( 1P  +P.  B ) ) )
2115, 18, 203bitr4d 219 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  ( [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  <->  A 
<P  B ) )
2212, 21bitr3d 189 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  (
( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A 
<P  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   <.cop 3563   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821   [cec 6475   P.cnp 7206   1Pc1p 7207    +P. cpp 7208    <P cltp 7210    ~R cer 7211   R.cnr 7212    +R cplr 7216    <R cltr 7218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-1o 6360  df-2o 6361  df-oadd 6364  df-omul 6365  df-er 6477  df-ec 6479  df-qs 6483  df-ni 7219  df-pli 7220  df-mi 7221  df-lti 7222  df-plpq 7259  df-mpq 7260  df-enq 7262  df-nqqs 7263  df-plqqs 7264  df-mqqs 7265  df-1nqqs 7266  df-rq 7267  df-ltnqqs 7268  df-enq0 7339  df-nq0 7340  df-0nq0 7341  df-plq0 7342  df-mq0 7343  df-inp 7381  df-i1p 7382  df-iplp 7383  df-iltp 7385  df-enr 7641  df-nr 7642  df-plr 7643  df-ltr 7645
This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7721  suplocsrlempr  7722  suplocsrlem  7723
  Copyright terms: Public domain W3C validator