Theorem opelxpi 4571

Description: Ordered pair membership in a cross product (implication). (Contributed by NM, 28-May-1995.)

Assertion

Ref	Expression
opelxpi	|- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> <. A , B >. e. ( C X. D ) )

Proof of Theorem opelxpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4569	. 2 |- ( <. A , B >. e. ( C X. D ) <-> ( A e. C /\ B e. D ) )
2	1	biimpri 132	1 |- ( ( A e. C /\ B e. D ) -> <. A , B >. e. ( C X. D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   <.cop 3530   X. cxp 4537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-opab 3990  df-xp 4545

This theorem is referenced by:  opelxpd  4572  opelvvg  4588  opelvv  4589  opbrop  4618  fliftrel  5693  fnotovb  5814  ovi3  5907  ovres  5910  fovrn  5913  fnovrn  5918  ovconst2  5922  oprab2co  6115  1stconst  6118  2ndconst  6119  f1od2  6132  brdifun  6456  ecopqsi  6484  brecop  6519  th3q  6534  xpcomco  6720  xpf1o  6738  xpmapenlem  6743  djulclr  6934  djurclr  6935  djulcl  6936  djurcl  6937  djuf1olem  6938  addpiord  7124  mulpiord  7125  enqeceq  7167  1nq  7174  addpipqqslem  7177  mulpipq  7180  mulpipqqs  7181  addclnq  7183  mulclnq  7184  recexnq  7198  ltexnqq  7216  prarloclemarch  7226  prarloclemarch2  7227  nnnq  7230  enq0breq  7244  enq0eceq  7245  nqnq0  7249  addnnnq0  7257  mulnnnq0  7258  addclnq0  7259  mulclnq0  7260  nqpnq0nq  7261  prarloclemlt  7301  prarloclemlo  7302  prarloclemcalc  7310  genpelxp  7319  nqprm  7350  ltexprlempr  7416  recexprlempr  7440  cauappcvgprlemcl  7461  cauappcvgprlemladd  7466  caucvgprlemcl  7484  caucvgprprlemcl  7512  enreceq  7544  addsrpr  7553  mulsrpr  7554  0r  7558  1sr  7559  m1r  7560  addclsr  7561  mulclsr  7562  prsrcl  7592  mappsrprg  7612  addcnsr  7642  mulcnsr  7643  addcnsrec  7650  mulcnsrec  7651  pitonnlem2  7655  pitonn  7656  pitore  7658  recnnre  7659  axaddcl  7672  axmulcl  7674  xrlenlt  7829  frecuzrdgg  10189  frecuzrdgsuctlem  10196  seq3val  10231  cnrecnv  10682  eucalgf  11736  eucalg  11740  qredeu  11778  qnumdenbi  11870  crth  11900  phimullem  11901  setscom  11999  setsslid  12009  txbas  12427  upxp  12441  uptx  12443  txlm  12448  cnmpt21  12460  txswaphmeolem  12489  txswaphmeo  12490  comet  12668  qtopbasss  12690  cnmetdval  12698  remetdval  12708  tgqioo  12716  dvcnp2cntop  12832  dvef  12856  djucllem  13007  pwle2  13193