Theorem elpwid 3700

Description: An element of a power class is a subclass. Deduction form of elpwi 3698. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
elpwid.1	|- ( ph -> A e. ~P B )

Assertion

Ref	Expression
elpwid	|- ( ph -> A C_ B )

Proof of Theorem elpwid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwid.1	. 2 |- ( ph -> A e. ~P B )
2		elpwi 3698	. 2 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A C_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690

This theorem is used by:  fopwdom  7142  ssenen  7158  fival  7309  fiuni  7317  3nelsucpw1  7599  elnp1st2nd  7849  ixxssxr  10318  elfzoelz  10570  ballotfilem2  13285  ballotfilemfmpn  13291  restid2  13660  cntzrcl  14158  epttop  15333  neiss2  15385  blssm  15664  blin2  15675  cncfrss  15818  cncfrss2  15819  dvidsslem  15936  dvconstss  15941  plybss  15976  uhgrss  16538  upgrss  16562  upgr1een  16587  usgrss  16640  eupth2lemsfi  16941  pw1ndom3lem  17241  pwle2  17250