Theorem elpwid 3700

Description: An element of a power class is a subclass. Deduction form of elpwi 3698. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
elpwid.1	|- ( ph -> A e. ~P B )

Assertion

Ref	Expression
elpwid	|- ( ph -> A C_ B )

Proof of Theorem elpwid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwid.1	. 2 |- ( ph -> A e. ~P B )
2		elpwi 3698	. 2 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A C_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690

This theorem is used by:  fopwdom  7136  ssenen  7152  fival  7304  fiuni  7312  3nelsucpw1  7594  elnp1st2nd  7844  ixxssxr  10313  elfzoelz  10565  ballotfilem2  13280  ballotfilemfmpn  13286  restid2  13655  cntzrcl  14153  epttop  15282  neiss2  15334  blssm  15613  blin2  15624  cncfrss  15767  cncfrss2  15768  dvidsslem  15885  dvconstss  15890  plybss  15925  uhgrss  16482  upgrss  16506  upgr1een  16531  usgrss  16584  eupth2lemsfi  16885  pw1ndom3lem  17185  pwle2  17194