Theorem elpwid 3700

Description: An element of a power class is a subclass. Deduction form of elpwi 3698. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
elpwid.1	|- ( ph -> A e. ~P B )

Assertion

Ref	Expression
elpwid	|- ( ph -> A C_ B )

Proof of Theorem elpwid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwid.1	. 2 |- ( ph -> A e. ~P B )
2		elpwi 3698	. 2 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> A C_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690

This theorem is used by:  fopwdom  7136  ssenen  7152  fival  7304  fiuni  7312  3nelsucpw1  7593  elnp1st2nd  7843  ixxssxr  10302  elfzoelz  10554  ballotfilem2  13228  ballotfilemfmpn  13234  restid2  13602  epttop  15191  neiss2  15243  blssm  15522  blin2  15533  cncfrss  15676  cncfrss2  15677  dvidsslem  15794  dvconstss  15799  plybss  15834  uhgrss  16316  upgrss  16340  upgr1een  16365  usgrss  16418  eupth2lemsfi  16719  pw1ndom3lem  17019  pwle2  17028