Theorem 3nelsucpw1 7169

Description: Three is not an element of the successor of the power set of 1o. (Contributed by James E. Hanson and Jim Kingdon, 30-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
3nelsucpw1	|- -. 3o e. suc ~P 1o

Proof of Theorem 3nelsucpw1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1lt2o 6389	. . . . 5 |- 1o e. 2o
2		elelsuc 4369	. . . . 5 |- ( 1o e. 2o -> 1o e. suc 2o )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- 1o e. suc 2o
4		df-3o 6365	. . . 4 |- 3o = suc 2o
5	3, 4	eleqtrri 2233	. . 3 |- 1o e. 3o
6		ssnel 4528	. . 3 |- ( 3o C_ 1o -> -. 1o e. 3o )
7	5, 6	mt2 630	. 2 |- -. 3o C_ 1o
8		pw1ne3 7165	. . . . . 6 |- ~P 1o =/= 3o
9	8	nesymi 2373	. . . . 5 |- -. 3o = ~P 1o
10	9	a1i 9	. . . 4 |- ( 3o e. suc ~P 1o -> -. 3o = ~P 1o )
11		elsuci 4363	. . . 4 |- ( 3o e. suc ~P 1o -> ( 3o e. ~P 1o \/ 3o = ~P 1o ) )
12	10, 11	ecased 1331	. . 3 |- ( 3o e. suc ~P 1o -> 3o e. ~P 1o )
13	12	elpwid 3554	. 2 |- ( 3o e. suc ~P 1o -> 3o C_ 1o )
14	7, 13	mto 652	1 |- -. 3o e. suc ~P 1o

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1335   e. wcel 2128   C_ wss 3102   ~Pcpw 3543   suc csuc 4325   1oc1o 6356   2oc2o 6357   3oc3o 6358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-int 3808  df-tr 4063  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-1o 6363  df-2o 6364  df-3o 6365

This theorem is referenced by:  onntri35  7172