Theorem blssm 15286

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ X )

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 15275	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
2		fovcdm 6197	. . 3 |- ( ( ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ~P X )
3	1, 2	syl3an1 1307	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ~P X )
4	3	elpwid 3680	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   e. wcel 2203   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669   X. cxp 4747   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   RR*cxr 8307   *Metcxmet 14684   ballcbl 14686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-map 6884  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-psmet 14691  df-xmet 14692  df-bl 14694

This theorem is referenced by:  blpnfctr  15304  xmetresbl  15305  metcnp  15377