Theorem blssm 13300

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ X )

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 13289	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
2		fovrn 5999	. . 3 |- ( ( ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ~P X )
3	1, 2	syl3an1 1267	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ~P X )
4	3	elpwid 3578	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 974   e. wcel 2142   C_ wss 3122   ~Pcpw 3567   X. cxp 4610   -->wf 5196   ` cfv 5200  (class class class)co 5857   RR*cxr 7957   *Metcxmet 12859   ballcbl 12861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-13 2144  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195  ax-un 4419  ax-setind 4522  ax-cnex 7869  ax-resscn 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ne 2342  df-ral 2454  df-rex 2455  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-csb 3051  df-dif 3124  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-iun 3876  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-fv 5208  df-ov 5860  df-oprab 5861  df-mpo 5862  df-1st 6123  df-2nd 6124  df-map 6632  df-pnf 7960  df-mnf 7961  df-xr 7962  df-psmet 12866  df-xmet 12867  df-bl 12869

This theorem is referenced by:  blpnfctr  13318  xmetresbl  13319  metcnp  13391