Theorem blssm 14566

Description: A ball is a subset of the base set of a metric space. (Contributed by NM, 31-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
blssm	|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ X )

Proof of Theorem blssm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blf 14555	. . 3 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X )
2		fovcdm 6053	. . 3 |- ( ( ( ball ` D ) : ( X X. RR* ) --> ~P X /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ~P X )
3	1, 2	syl3an1 1282	. 2 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) e. ~P X )
4	3	elpwid 3612	1 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ P e. X /\ R e. RR* ) -> ( P ( ball ` D ) R ) C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   e. wcel 2164   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   X. cxp 4653   -->wf 5242   ` cfv 5246  (class class class)co 5910   RR*cxr 8043   *Metcxmet 14016   ballcbl 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-fv 5254  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-1st 6184  df-2nd 6185  df-map 6695  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-psmet 14023  df-xmet 14024  df-bl 14026

This theorem is referenced by:  blpnfctr  14584  xmetresbl  14585  metcnp  14657