ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cncfrss Unicode version

Theorem cncfrss 12761
Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
cncfrss  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )

Proof of Theorem cncfrss
Dummy variables  a  b  f  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cncf 12757 . . 3  |-  -cn->  =  ( a  e.  ~P CC ,  b  e.  ~P CC  |->  { f  e.  ( b  ^m  a
)  |  A. x  e.  a  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  a  ( ( abs `  (
x  -  w ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( f `  x
)  -  ( f `
 w ) ) )  <  y ) } )
21elmpocl1 5973 . 2  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  e.  ~P CC )
32elpwid 3522 1  |-  ( F  e.  ( A -cn-> B )  ->  A  C_  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421    C_ wss 3072   ~Pcpw 3511   class class class wbr 3933   ` cfv 5127  (class class class)co 5778    ^m cmap 6546   CCcc 7638    < clt 7820    - cmin 7953   RR+crp 9466   abscabs 10797   -cn->ccncf 12756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2689  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-cncf 12757
This theorem is referenced by:  cncff  12763  cncfi  12764  rescncf  12767  cncffvrn  12768  cncfco  12777  cncfmpt2fcntop  12784  mulcncflem  12789  mulcncf  12790  cnlimci  12841
  Copyright terms: Public domain W3C validator