Theorem cncfrss 15676

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss	|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )

Proof of Theorem cncfrss

Dummy variables a b f w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 15672	. . 3 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	elmpocl1 6285	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A e. ~P CC )
3	2	elpwid 3700	1 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ^m cmap 6922   CCcc 8177   < clt 8360   - cmin 8497   RR+crp 10054   abscabs 11763   -cn->ccncf 15671

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-cncf 15672

This theorem is used by:  cncff  15678  cncfi  15679  rescncf  15682  cncfcdm  15683  cncfco  15692  cncfmpt2fcntop  15700  mulcncflem  15708  mulcncf  15709  maxcncf  15716  mincncf  15717  cnlimci  15774