Theorem cncfrss 12720

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss	|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )

Proof of Theorem cncfrss

Dummy variables a b f w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 12716	. . 3 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	elmpocl1 5962	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A e. ~P CC )
3	2	elpwid 3516	1 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418   C_ wss 3066   ~Pcpw 3505   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   ^m cmap 6535   CCcc 7611   < clt 7793   - cmin 7926   RR+crp 9434   abscabs 10762   -cn->ccncf 12715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-cncf 12716

This theorem is referenced by:  cncff  12722  cncfi  12723  rescncf  12726  cncffvrn  12727  cncfco  12736  cncfmpt2fcntop  12743  mulcncflem  12748  mulcncf  12749  cnlimci  12800