Theorem cncfrss 14989

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss	|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )

Proof of Theorem cncfrss

Dummy variables a b f w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 14985	. . 3 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	elmpocl1 6141	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A e. ~P CC )
3	2	elpwid 3626	1 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   {crab 2487   C_ wss 3165   ~Pcpw 3615   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   ^m cmap 6734   CCcc 7922   < clt 8106   - cmin 8242   RR+crp 9774   abscabs 11250   -cn->ccncf 14984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-cncf 14985

This theorem is referenced by:  cncff  14991  cncfi  14992  rescncf  14995  cncfcdm  14996  cncfco  15005  cncfmpt2fcntop  15013  mulcncflem  15021  mulcncf  15022  maxcncf  15029  mincncf  15030  cnlimci  15087