Theorem cncfrss 13103

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss	|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )

Proof of Theorem cncfrss

Dummy variables a b f w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 13099	. . 3 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	elmpocl1 6031	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A e. ~P CC )
3	2	elpwid 3564	1 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> A C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   {crab 2446   C_ wss 3111   ~Pcpw 3553   class class class wbr 3976   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   ^m cmap 6605   CCcc 7742   < clt 7924   - cmin 8060   RR+crp 9580   abscabs 10925   -cn->ccncf 13098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-cncf 13099

This theorem is referenced by:  cncff  13105  cncfi  13106  rescncf  13109  cncffvrn  13110  cncfco  13119  cncfmpt2fcntop  13126  mulcncflem  13131  mulcncf  13132  cnlimci  13183