Theorem cncfrss2 15370

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss2	|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )

Proof of Theorem cncfrss2

Dummy variables a b f w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 15365	. . 3 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	elmpocl2 6229	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B e. ~P CC )
3	2	elpwid 3667	1 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   {crab 2515   C_ wss 3201   ~Pcpw 3656   class class class wbr 4093   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   ^m cmap 6860   CCcc 8073   < clt 8256   - cmin 8392   RR+crp 9932   abscabs 11620   -cn->ccncf 15364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-cncf 15365

This theorem is referenced by:  cncff  15371  cncfi  15372  rescncf  15375  climcncf  15378  cncfco  15385  cnlimci  15467