Theorem cncfrss2 14812

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss2	|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )

Proof of Theorem cncfrss2

Dummy variables a b f w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 14807	. . 3 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	elmpocl2 6120	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B e. ~P CC )
3	2	elpwid 3616	1 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   ~Pcpw 3605   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   ^m cmap 6707   CCcc 7877   < clt 8061   - cmin 8197   RR+crp 9728   abscabs 11162   -cn->ccncf 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-cncf 14807

This theorem is referenced by:  cncff  14813  cncfi  14814  rescncf  14817  climcncf  14820  cncfco  14827  cnlimci  14909