Theorem cncfrss2 13956

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss2	|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )

Proof of Theorem cncfrss2

Dummy variables a b f w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 13951	. . 3 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	elmpocl2 6070	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B e. ~P CC )
3	2	elpwid 3586	1 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   C_ wss 3129   ~Pcpw 3575   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   ^m cmap 6647   CCcc 7808   < clt 7990   - cmin 8126   RR+crp 9651   abscabs 11001   -cn->ccncf 13950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-cncf 13951

This theorem is referenced by:  cncff  13957  cncfi  13958  rescncf  13961  climcncf  13964  cncfco  13971  cnlimci  14035