Theorem cncfrss2 15600

Description: Reverse closure of the continuous function predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cncfrss2	|- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )

Proof of Theorem cncfrss2

Dummy variables a b f w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cncf 15595	. . 3 |- -cn-> = ( a e. ~P CC , b e. ~P CC |-> { f e. ( b ^m a ) | A. x e. a A. y e. RR+ E. z e. RR+ A. w e. a ( ( abs ` ( x - w ) ) < z -> ( abs ` ( ( f ` x ) - ( f ` w ) ) ) < y ) } )
2	1	elmpocl2 6276	. 2 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B e. ~P CC )
3	2	elpwid 3696	1 |- ( F e. ( A -cn-> B ) -> B C_ CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   ~Pcpw 3685   class class class wbr 4125   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ^m cmap 6912   CCcc 8167   < clt 8350   - cmin 8487   RR+crp 10033   abscabs 11741   -cn->ccncf 15594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-cncf 15595

This theorem is referenced by:  cncff  15601  cncfi  15602  rescncf  15605  climcncf  15608  cncfco  15615  cnlimci  15697