Theorem ixxssxr 10042

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixxssxr.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxssxr	|- ( A O B ) C_ RR*

Distinct variable groups:   x, y, z, R   x, S, y, z   x, A, y, z   x, B, y, z   x, O, y, z

Proof of Theorem ixxssxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixxssxr.1	. . . 4 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
2	1	elmpocl 6154	. . 3 |- ( x e. ( A O B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
3	1	ixxf 10040	. . . . . 6 |- O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*
4	3	fovcl 6064	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) e. ~P RR* )
5	4	elpwid 3632	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) C_ RR* )
6	5	sseld 3196	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A O B ) -> x e. RR* ) )
7	2, 6	mpcom 36	. 2 |- ( x e. ( A O B ) -> x e. RR* )
8	7	ssriv 3201	1 |- ( A O B ) C_ RR*

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   {crab 2489   C_ wss 3170   ~Pcpw 3621   class class class wbr 4051  (class class class)co 5957   e. cmpo 5959   RR*cxr 8126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-fv 5288  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131

This theorem is referenced by:  iccssxr  10098  iocssxr  10099  icossxr  10100