Theorem ixxssxr 10233

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixxssxr.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxssxr	|- ( A O B ) C_ RR*

Distinct variable groups:   x, y, z, R   x, S, y, z   x, A, y, z   x, B, y, z   x, O, y, z

Proof of Theorem ixxssxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixxssxr.1	. . . 4 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
2	1	elmpocl 6249	. . 3 |- ( x e. ( A O B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
3	1	ixxf 10231	. . . . . 6 |- O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*
4	3	fovcl 6159	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) e. ~P RR* )
5	4	elpwid 3680	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) C_ RR* )
6	5	sseld 3237	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A O B ) -> x e. RR* ) )
7	2, 6	mpcom 36	. 2 |- ( x e. ( A O B ) -> x e. RR* )
8	7	ssriv 3242	1 |- ( A O B ) C_ RR*

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   {crab 2524   C_ wss 3211   ~Pcpw 3669   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   e. cmpo 6052   RR*cxr 8307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312

This theorem is referenced by:  iccssxr  10289  iocssxr  10290  icossxr  10291