Theorem ixxssxr 9992

Description: The set of intervals of extended reals maps to subsets of extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jul-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixxssxr.1	|- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )

Assertion

Ref	Expression
ixxssxr	|- ( A O B ) C_ RR*

Distinct variable groups:   x, y, z, R   x, S, y, z   x, A, y, z   x, B, y, z   x, O, y, z

Proof of Theorem ixxssxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixxssxr.1	. . . 4 |- O = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x R z /\ z S y ) } )
2	1	elmpocl 6122	. . 3 |- ( x e. ( A O B ) -> ( A e. RR* /\ B e. RR* ) )
3	1	ixxf 9990	. . . . . 6 |- O : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR*
4	3	fovcl 6032	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) e. ~P RR* )
5	4	elpwid 3617	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A O B ) C_ RR* )
6	5	sseld 3183	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( x e. ( A O B ) -> x e. RR* ) )
7	2, 6	mpcom 36	. 2 |- ( x e. ( A O B ) -> x e. RR* )
8	7	ssriv 3188	1 |- ( A O B ) C_ RR*

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   C_ wss 3157   ~Pcpw 3606   class class class wbr 4034  (class class class)co 5925   e. cmpo 5927   RR*cxr 8077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082

This theorem is referenced by:  iccssxr  10048  iocssxr  10049  icossxr  10050