Theorem elfzoelz 10271

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10269	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 10270	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 10268	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6053	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3627	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 19	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3194	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   ~Pcpw 3616  (class class class)co 5946   ZZcz 9374  ..^cfzo 10266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375  df-fz 10133  df-fzo 10267

This theorem is referenced by:  elfzo2  10274  elfzole1  10280  elfzolt2  10281  elfzolt3  10282  elfzolt2b  10283  elfzouz2  10286  fzonnsub  10295  fzospliti  10302  fzodisj  10304  fzonmapblen  10313  fzoaddel  10318  elincfzoext  10324  fzosubel  10325  modaddmodup  10534  modaddmodlo  10535  modfzo0difsn  10542  modsumfzodifsn  10543  addmodlteq  10545  iseqf1olemqk  10654  seq3f1olemp  10662  seqfeq4g  10678  ccatcl  11052  ccatlen  11054  ccatval2  11057  ccatval3  11058  ccatvalfn  11060  ccatlid  11065  ccatass  11067  ccatrn  11068  swrdlen  11108  swrdfv  11109  swrdfv0  11110  swrdfv2  11119  swrdwrdsymbg  11120  swrdspsleq  11123  swrds1  11124  ccatswrd  11126  pfxfv  11138  ccatpfx  11155  fzomaxdiflem  11456  fzomaxdif  11457  fzo0dvdseq  12201  fzocongeq  12202  addmodlteqALT  12203  crth  12579  phimullem  12580  eulerthlem1  12582  eulerthlemfi  12583  eulerthlemrprm  12584  hashgcdlem  12593  hashgcdeq  12595  phisum  12596  reumodprminv  12609  modprm0  12610  nnnn0modprm0  12611  modprmn0modprm0  12612  4sqlemafi  12751  nninfdclemlt  12855  gsumfzfsumlemm  14382  znf1o  14446  trilpolemeq1  16016