Theorem elfzoelz 10149

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10147	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 10148	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 10146	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 5982	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3588	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 19	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3158	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148   ~Pcpw 3577  (class class class)co 5877   ZZcz 9255  ..^cfzo 10144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-fz 10011  df-fzo 10145

This theorem is referenced by:  elfzo2  10152  elfzole1  10157  elfzolt2  10158  elfzolt3  10159  elfzolt2b  10160  elfzouz2  10163  fzonnsub  10171  fzospliti  10178  fzodisj  10180  fzonmapblen  10189  fzoaddel  10194  fzosubel  10196  modaddmodup  10389  modaddmodlo  10390  modfzo0difsn  10397  modsumfzodifsn  10398  addmodlteq  10400  iseqf1olemqk  10496  seq3f1olemp  10504  fzomaxdiflem  11123  fzomaxdif  11124  fzo0dvdseq  11865  fzocongeq  11866  addmodlteqALT  11867  crth  12226  phimullem  12227  eulerthlem1  12229  eulerthlemfi  12230  eulerthlemrprm  12231  hashgcdlem  12240  hashgcdeq  12241  phisum  12242  reumodprminv  12255  modprm0  12256  nnnn0modprm0  12257  modprmn0modprm0  12258  nninfdclemlt  12454  trilpolemeq1  14873