Theorem elfzoelz 10269

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10267	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 10268	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 10266	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6051	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3627	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 19	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3194	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176   ~Pcpw 3616  (class class class)co 5944   ZZcz 9372  ..^cfzo 10264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373  df-fz 10131  df-fzo 10265

This theorem is referenced by:  elfzo2  10272  elfzole1  10278  elfzolt2  10279  elfzolt3  10280  elfzolt2b  10281  elfzouz2  10284  fzonnsub  10293  fzospliti  10300  fzodisj  10302  fzonmapblen  10311  fzoaddel  10316  elincfzoext  10322  fzosubel  10323  modaddmodup  10532  modaddmodlo  10533  modfzo0difsn  10540  modsumfzodifsn  10541  addmodlteq  10543  iseqf1olemqk  10652  seq3f1olemp  10660  seqfeq4g  10676  ccatcl  11049  ccatlen  11051  ccatval2  11054  ccatval3  11055  ccatvalfn  11057  ccatlid  11062  ccatass  11064  ccatrn  11065  swrdlen  11105  swrdfv  11106  swrdfv0  11107  swrdfv2  11116  swrdwrdsymbg  11117  swrdspsleq  11120  swrds1  11121  ccatswrd  11123  fzomaxdiflem  11423  fzomaxdif  11424  fzo0dvdseq  12168  fzocongeq  12169  addmodlteqALT  12170  crth  12546  phimullem  12547  eulerthlem1  12549  eulerthlemfi  12550  eulerthlemrprm  12551  hashgcdlem  12560  hashgcdeq  12562  phisum  12563  reumodprminv  12576  modprm0  12577  nnnn0modprm0  12578  modprmn0modprm0  12579  4sqlemafi  12718  nninfdclemlt  12822  gsumfzfsumlemm  14349  znf1o  14413  trilpolemeq1  15979