Theorem elfzoelz 10481

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10479	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 10480	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 10478	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6159	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3680	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 19	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3239	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   ~Pcpw 3669  (class class class)co 6050   ZZcz 9577  ..^cfzo 10476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-fz 10343  df-fzo 10477

This theorem is referenced by:  elfzo2  10484  elfzole1  10490  elfzolt2  10491  elfzolt3  10492  elfzolt2b  10493  elfzouz2  10496  fzonnsub  10505  fzospliti  10512  fzodisj  10514  fzodisjsn  10518  fzonmapblen  10526  fzoaddel  10532  elincfzoext  10538  fzosubel  10539  modaddmodup  10749  modaddmodlo  10750  modfzo0difsn  10757  modsumfzodifsn  10758  addmodlteq  10760  iseqf1olemqk  10869  seq3f1olemp  10877  seqfeq4g  10893  ccatcl  11281  ccatlen  11283  ccatval2  11286  ccatval3  11287  ccatvalfn  11289  ccatlid  11294  ccatass  11296  ccatrn  11297  ccatalpha  11301  swrdlen  11344  swrdfv  11345  swrdfv0  11346  swrdfv2  11355  swrdwrdsymbg  11356  swrdspsleq  11359  swrds1  11360  ccatswrd  11362  pfxfv  11376  ccatpfx  11393  swrdswrd  11397  pfxccatin12lem2a  11419  swrdccatin2  11421  pfxccatin12lem2  11423  pfxccatin12  11425  fzomaxdiflem  11797  fzomaxdif  11798  fzo0dvdseq  12543  fzocongeq  12544  addmodlteqALT  12545  crth  12921  phimullem  12922  eulerthlem1  12924  eulerthlemfi  12925  eulerthlemrprm  12926  hashgcdlem  12935  hashgcdeq  12937  phisum  12938  reumodprminv  12951  modprm0  12952  nnnn0modprm0  12953  modprmn0modprm0  12954  4sqlemafi  13093  nninfdclemlt  13202  gsumfzfsumlemm  14735  znf1o  14799  wlk1walkdom  16354  clwwlkccatlem  16395  trlsegvdeglem6  16460  trilpolemeq1  16824