Theorem elfzoelz 10028

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10026	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 10027	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 10025	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 5920	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 409	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3554	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 19	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3129	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2128   ~Pcpw 3543  (class class class)co 5818   ZZcz 9150  ..^cfzo 10023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-inn 8817  df-n0 9074  df-z 9151  df-fz 9895  df-fzo 10024

This theorem is referenced by:  elfzo2  10031  elfzole1  10036  elfzolt2  10037  elfzolt3  10038  elfzolt2b  10039  elfzouz2  10042  fzonnsub  10050  fzospliti  10057  fzodisj  10059  fzonmapblen  10068  fzoaddel  10073  fzosubel  10075  modaddmodup  10268  modaddmodlo  10269  modfzo0difsn  10276  modsumfzodifsn  10277  addmodlteq  10279  iseqf1olemqk  10375  seq3f1olemp  10383  fzomaxdiflem  10994  fzomaxdif  10995  fzo0dvdseq  11730  fzocongeq  11731  addmodlteqALT  11732  crth  12076  phimullem  12077  eulerthlem1  12079  eulerthlemfi  12080  eulerthlemrprm  12081  hashgcdlem  12090  hashgcdeq  12091  phisum  12092  trilpolemeq1  13574