Theorem elfzoelz 10304

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10302	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 10303	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 10301	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6074	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3637	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 19	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3202	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2178   ~Pcpw 3626  (class class class)co 5967   ZZcz 9407  ..^cfzo 10299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-fz 10166  df-fzo 10300

This theorem is referenced by:  elfzo2  10307  elfzole1  10313  elfzolt2  10314  elfzolt3  10315  elfzolt2b  10316  elfzouz2  10319  fzonnsub  10328  fzospliti  10335  fzodisj  10337  fzodisjsn  10341  fzonmapblen  10348  fzoaddel  10353  elincfzoext  10359  fzosubel  10360  modaddmodup  10569  modaddmodlo  10570  modfzo0difsn  10577  modsumfzodifsn  10578  addmodlteq  10580  iseqf1olemqk  10689  seq3f1olemp  10697  seqfeq4g  10713  ccatcl  11087  ccatlen  11089  ccatval2  11092  ccatval3  11093  ccatvalfn  11095  ccatlid  11100  ccatass  11102  ccatrn  11103  swrdlen  11143  swrdfv  11144  swrdfv0  11145  swrdfv2  11154  swrdwrdsymbg  11155  swrdspsleq  11158  swrds1  11159  ccatswrd  11161  pfxfv  11175  ccatpfx  11192  swrdswrd  11196  pfxccatin12lem2a  11218  swrdccatin2  11220  pfxccatin12lem2  11222  pfxccatin12  11224  fzomaxdiflem  11538  fzomaxdif  11539  fzo0dvdseq  12283  fzocongeq  12284  addmodlteqALT  12285  crth  12661  phimullem  12662  eulerthlem1  12664  eulerthlemfi  12665  eulerthlemrprm  12666  hashgcdlem  12675  hashgcdeq  12677  phisum  12678  reumodprminv  12691  modprm0  12692  nnnn0modprm0  12693  modprmn0modprm0  12694  4sqlemafi  12833  nninfdclemlt  12937  gsumfzfsumlemm  14464  znf1o  14528  trilpolemeq1  16181