Theorem elfzoelz 10565

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10563	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 10564	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 10562	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6194	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 415	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3700	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 19	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3249	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ~Pcpw 3688  (class class class)co 6085   ZZcz 9649  ..^cfzo 10560

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650  df-fz 10423  df-fzo 10561

This theorem is used by:  elfzo2  10568  elfzole1  10574  elfzolt2  10575  elfzolt3  10576  elfzolt2b  10577  elfzouz2  10580  fzonnsub  10589  fzospliti  10596  fzodisj  10598  fzodisjsn  10602  fzonmapblen  10610  fzoaddel  10616  elincfzoext  10622  fzosubel  10623  modaddmodup  10839  modaddmodlo  10840  modfzo0difsn  10847  modsumfzodifsn  10848  addmodlteq  10850  iseqf1olemqk  10959  seq3f1olemp  10967  seqfeq4g  10983  ccatcl  11377  ccatlen  11379  ccatval2  11382  ccatval3  11383  ccatvalfn  11385  ccatlid  11390  ccatass  11392  ccatrn  11393  ccatalpha  11397  swrdlen  11440  swrdfv  11441  swrdfv0  11442  swrdfv2  11451  swrdwrdsymbg  11452  swrdspsleq  11455  swrds1  11456  ccatswrd  11458  pfxfv  11472  ccatpfx  11489  swrdswrd  11493  pfxccatin12lem2a  11515  swrdccatin2  11517  pfxccatin12lem2  11519  pfxccatin12  11521  fzomaxdiflem  11895  fzomaxdif  11896  fzo0dvdseq  12643  fzocongeq  12644  addmodlteqALT  12645  crth  13025  phimullem  13026  eulerthlem1  13028  eulerthlemfi  13029  eulerthlemrprm  13030  hashgcdlem  13039  hashgcdeq  13041  phisum  13042  reumodprminv  13055  modprm0  13056  nnnn0modprm0  13057  modprmn0modprm0  13058  4sqlemafi  13197  nninfdclemlt  13394  znf1o  15070  wlk1walkdom  16766  clwwlkccatlem  16807  trlsegvdeglem6  16872  trilpolemeq1  17256