ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfzoelz Unicode version

Theorem elfzoelz 9864
Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfzoelz  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz
StepHypRef Expression
1 elfzoel1 9862 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  B  e.  ZZ )
2 elfzoel2 9863 . . . 4  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  C  e.  ZZ )
3 fzof 9861 . . . . 5  |- ..^ : ( ZZ  X.  ZZ ) --> ~P ZZ
43fovcl 5842 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B..^ C )  e.  ~P ZZ )
51, 2, 4syl2anc 406 . . 3  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  e.  ~P ZZ )
65elpwid 3489 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  ( B..^ C )  C_  ZZ )
7 id 19 . 2  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ( B..^ C ) )
86, 7sseldd 3066 1  |-  ( A  e.  ( B..^ C
)  ->  A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1463   ~Pcpw 3478  (class class class)co 5740   ZZcz 9005  ..^cfzo 9859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-fz 9731  df-fzo 9860
This theorem is referenced by:  elfzo2  9867  elfzole1  9872  elfzolt2  9873  elfzolt3  9874  elfzolt2b  9875  elfzouz2  9878  fzonnsub  9886  fzospliti  9893  fzodisj  9895  fzonmapblen  9904  fzoaddel  9909  fzosubel  9911  modaddmodup  10100  modaddmodlo  10101  modfzo0difsn  10108  modsumfzodifsn  10109  addmodlteq  10111  iseqf1olemqk  10207  seq3f1olemp  10215  fzomaxdiflem  10824  fzomaxdif  10825  fzo0dvdseq  11451  fzocongeq  11452  addmodlteqALT  11453  crth  11795  phimullem  11796  hashgcdlem  11798  hashgcdeq  11799  trilpolemeq1  13035
  Copyright terms: Public domain W3C validator