Theorem elfzoelz 10343

Description: Reverse closure for half-open integer sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
elfzoelz	|- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Proof of Theorem elfzoelz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzoel1 10341	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> B e. ZZ )
2		elfzoel2 10342	. . . 4 |- ( A e. ( B..^ C ) -> C e. ZZ )
3		fzof 10340	. . . . 5 |- ..^ : ( ZZ X. ZZ ) --> ~P ZZ
4	3	fovcl 6110	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
5	1, 2, 4	syl2anc 411	. . 3 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) e. ~P ZZ )
6	5	elpwid 3660	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> ( B..^ C ) C_ ZZ )
7		id 19	. 2 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ( B..^ C ) )
8	6, 7	sseldd 3225	1 |- ( A e. ( B..^ C ) -> A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200   ~Pcpw 3649  (class class class)co 6001   ZZcz 9446  ..^cfzo 10338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-fz 10205  df-fzo 10339

This theorem is referenced by:  elfzo2  10346  elfzole1  10352  elfzolt2  10353  elfzolt3  10354  elfzolt2b  10355  elfzouz2  10358  fzonnsub  10367  fzospliti  10374  fzodisj  10376  fzodisjsn  10380  fzonmapblen  10387  fzoaddel  10393  elincfzoext  10399  fzosubel  10400  modaddmodup  10609  modaddmodlo  10610  modfzo0difsn  10617  modsumfzodifsn  10618  addmodlteq  10620  iseqf1olemqk  10729  seq3f1olemp  10737  seqfeq4g  10753  ccatcl  11128  ccatlen  11130  ccatval2  11133  ccatval3  11134  ccatvalfn  11136  ccatlid  11141  ccatass  11143  ccatrn  11144  swrdlen  11184  swrdfv  11185  swrdfv0  11186  swrdfv2  11195  swrdwrdsymbg  11196  swrdspsleq  11199  swrds1  11200  ccatswrd  11202  pfxfv  11216  ccatpfx  11233  swrdswrd  11237  pfxccatin12lem2a  11259  swrdccatin2  11261  pfxccatin12lem2  11263  pfxccatin12  11265  fzomaxdiflem  11623  fzomaxdif  11624  fzo0dvdseq  12368  fzocongeq  12369  addmodlteqALT  12370  crth  12746  phimullem  12747  eulerthlem1  12749  eulerthlemfi  12750  eulerthlemrprm  12751  hashgcdlem  12760  hashgcdeq  12762  phisum  12763  reumodprminv  12776  modprm0  12777  nnnn0modprm0  12778  modprmn0modprm0  12779  4sqlemafi  12918  nninfdclemlt  13022  gsumfzfsumlemm  14551  znf1o  14615  wlk1walkdom  16070  trilpolemeq1  16408