Theorem eltop 14237

Description: Membership in a topology, expressed without quantifiers. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop	|- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A C_ U. ( J i^i ~P A ) ) )

Proof of Theorem eltop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 14236	. . 3 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
2	1	eleq2d 2263	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A e. J ) )
3		eltg 14220	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A C_ U. ( J i^i ~P A ) ) )
4	2, 3	bitr3d 190	1 |- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A C_ U. ( J i^i ~P A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2164   i^i cin 3152   C_ wss 3153   ~Pcpw 3601   U.cuni 3835   ` cfv 5254   topGenctg 12865   Topctop 14165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-topgen 12871  df-top 14166

This theorem is referenced by: (None)