Theorem eltop 14541

Description: Membership in a topology, expressed without quantifiers. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop	|- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A C_ U. ( J i^i ~P A ) ) )

Proof of Theorem eltop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 14540	. . 3 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
2	1	eleq2d 2275	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A e. J ) )
3		eltg 14524	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A C_ U. ( J i^i ~P A ) ) )
4	2, 3	bitr3d 190	1 |- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A C_ U. ( J i^i ~P A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   e. wcel 2176   i^i cin 3165   C_ wss 3166   ~Pcpw 3616   U.cuni 3850   ` cfv 5271   topGenctg 13086   Topctop 14469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-topgen 13092  df-top 14470

This theorem is referenced by: (None)