Theorem tgtop 14933

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop	|- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )

Proof of Theorem tgtop

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg3 14922	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. ( topGen ` J ) <-> E. y ( y C_ J /\ x = U. y ) ) )
2		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> x = U. y )
3		uniopn 14866	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ y C_ J ) -> U. y e. J )
4	3	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> U. y e. J )
5	2, 4	eqeltrd 2309	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> x e. J )
6	5	expl 378	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( ( y C_ J /\ x = U. y ) -> x e. J ) )
7	6	exlimdv 1868	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( E. y ( y C_ J /\ x = U. y ) -> x e. J ) )
8	1, 7	sylbid 150	. . 3 |- ( J e. Top -> ( x e. ( topGen ` J ) -> x e. J ) )
9	8	ssrdv 3244	. 2 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) C_ J )
10		bastg 14926	. 2 |- ( J e. Top -> J C_ ( topGen ` J ) )
11	9, 10	eqssd 3255	1 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   C_ wss 3211   U.cuni 3914   ` cfv 5352   topGenctg 13467   Topctop 14862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-topgen 13473  df-top 14863

This theorem is referenced by:  eltop  14934  eltop2  14935  eltop3  14936  bastop  14940  tgtop11  14941  basgen  14945  bastop1  14948  resttop  15035