Theorem tgtop 12708

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop	|- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )

Proof of Theorem tgtop

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg3 12697	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. ( topGen ` J ) <-> E. y ( y C_ J /\ x = U. y ) ) )
2		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> x = U. y )
3		uniopn 12639	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ y C_ J ) -> U. y e. J )
4	3	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> U. y e. J )
5	2, 4	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> x e. J )
6	5	expl 376	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( ( y C_ J /\ x = U. y ) -> x e. J ) )
7	6	exlimdv 1807	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( E. y ( y C_ J /\ x = U. y ) -> x e. J ) )
8	1, 7	sylbid 149	. . 3 |- ( J e. Top -> ( x e. ( topGen ` J ) -> x e. J ) )
9	8	ssrdv 3148	. 2 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) C_ J )
10		bastg 12701	. 2 |- ( J e. Top -> J C_ ( topGen ` J ) )
11	9, 10	eqssd 3159	1 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   C_ wss 3116   U.cuni 3789   ` cfv 5188   topGenctg 12571   Topctop 12635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577  df-top 12636

This theorem is referenced by:  eltop  12709  eltop2  12710  eltop3  12711  bastop  12715  tgtop11  12716  basgen  12720  bastop1  12723  resttop  12810