Theorem tgtop 12237

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop	|- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )

Proof of Theorem tgtop

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg3 12226	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. ( topGen ` J ) <-> E. y ( y C_ J /\ x = U. y ) ) )
2		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> x = U. y )
3		uniopn 12168	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ y C_ J ) -> U. y e. J )
4	3	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> U. y e. J )
5	2, 4	eqeltrd 2216	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> x e. J )
6	5	expl 375	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( ( y C_ J /\ x = U. y ) -> x e. J ) )
7	6	exlimdv 1791	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( E. y ( y C_ J /\ x = U. y ) -> x e. J ) )
8	1, 7	sylbid 149	. . 3 |- ( J e. Top -> ( x e. ( topGen ` J ) -> x e. J ) )
9	8	ssrdv 3103	. 2 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) C_ J )
10		bastg 12230	. 2 |- ( J e. Top -> J C_ ( topGen ` J ) )
11	9, 10	eqssd 3114	1 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   C_ wss 3071   U.cuni 3736   ` cfv 5123   topGenctg 12135   Topctop 12164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12141  df-top 12165

This theorem is referenced by:  eltop  12238  eltop2  12239  eltop3  12240  bastop  12244  tgtop11  12245  basgen  12249  bastop1  12252  resttop  12339