ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tgtop Unicode version

Theorem tgtop 12274
Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)
Assertion
Ref Expression
tgtop  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )

Proof of Theorem tgtop
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eltg3 12263 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( topGen `  J )  <->  E. y
( y  C_  J  /\  x  =  U. y ) ) )
2 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  x  =  U. y )  ->  x  =  U. y )
3 uniopn 12205 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  ->  U. y  e.  J
)
43adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  x  =  U. y )  ->  U. y  e.  J )
52, 4eqeltrd 2217 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  y  C_  J )  /\  x  =  U. y )  ->  x  e.  J )
65expl 376 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( y  C_  J  /\  x  =  U. y )  ->  x  e.  J ) )
76exlimdv 1792 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( E. y ( y  C_  J  /\  x  =  U. y )  ->  x  e.  J ) )
81, 7sylbid 149 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (
x  e.  ( topGen `  J )  ->  x  e.  J ) )
98ssrdv 3107 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  C_  J )
10 bastg 12267 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  ( topGen `  J )
)
119, 10eqssd 3118 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( topGen `
 J )  =  J )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481    C_ wss 3075   U.cuni 3743   ` cfv 5130   topGenctg 12172   Topctop 12201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fv 5138  df-topgen 12178  df-top 12202
This theorem is referenced by:  eltop  12275  eltop2  12276  eltop3  12277  bastop  12281  tgtop11  12282  basgen  12286  bastop1  12289  resttop  12376
  Copyright terms: Public domain W3C validator