Theorem tgtop 12609

Description: A topology is its own basis. (Contributed by NM, 18-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
tgtop	|- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )

Proof of Theorem tgtop

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg3 12598	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( x e. ( topGen ` J ) <-> E. y ( y C_ J /\ x = U. y ) ) )
2		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> x = U. y )
3		uniopn 12540	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ y C_ J ) -> U. y e. J )
4	3	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> U. y e. J )
5	2, 4	eqeltrd 2241	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ y C_ J ) /\ x = U. y ) -> x e. J )
6	5	expl 376	. . . . 5 |- ( J e. Top -> ( ( y C_ J /\ x = U. y ) -> x e. J ) )
7	6	exlimdv 1806	. . . 4 |- ( J e. Top -> ( E. y ( y C_ J /\ x = U. y ) -> x e. J ) )
8	1, 7	sylbid 149	. . 3 |- ( J e. Top -> ( x e. ( topGen ` J ) -> x e. J ) )
9	8	ssrdv 3143	. 2 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) C_ J )
10		bastg 12602	. 2 |- ( J e. Top -> J C_ ( topGen ` J ) )
11	9, 10	eqssd 3154	1 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   C_ wss 3111   U.cuni 3783   ` cfv 5182   topGenctg 12507   Topctop 12536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-sbc 2947  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fv 5190  df-topgen 12513  df-top 12537

This theorem is referenced by:  eltop  12610  eltop2  12611  eltop3  12612  bastop  12616  tgtop11  12617  basgen  12621  bastop1  12624  resttop  12711