Theorem eltop 12238

Description: Membership in a topology, expressed without quantifiers. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop	⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))

Proof of Theorem eltop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 12237	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (topGen‘𝐽) = 𝐽)
2	1	eleq2d 2209	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴 ∈ 𝐽))
3		eltg 12221	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐽) ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))
4	2, 3	bitr3d 189	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐴 ∈ 𝐽 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   ∈ wcel 1480   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  𝒫 cpw 3510  ∪ cuni 3736  ‘cfv 5123  topGenctg 12135  Topctop 12164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12141  df-top 12165

This theorem is referenced by: (None)