Theorem eltop2 14738

Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop2	|- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, J, y

Proof of Theorem eltop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 14736	. . 3 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
2	1	eleq2d 2299	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A e. J ) )
3		eltg2b 14722	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
4	2, 3	bitr3d 190	1 |- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3197   ` cfv 5317   topGenctg 13282   Topctop 14665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-topgen 13288  df-top 14666

This theorem is referenced by:  cncnp  14898