Theorem eltop2 14027

Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop2	|- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, J, y

Proof of Theorem eltop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 14025	. . 3 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
2	1	eleq2d 2259	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A e. J ) )
3		eltg2b 14011	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
4	2, 3	bitr3d 190	1 |- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   C_ wss 3144   ` cfv 5235   topGenctg 12759   Topctop 13954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-topgen 12765  df-top 13955

This theorem is referenced by:  cncnp  14187