Theorem eltop2 12239

Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop2	|- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, J, y

Proof of Theorem eltop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 12237	. . 3 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
2	1	eleq2d 2209	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A e. J ) )
3		eltg2b 12223	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
4	2, 3	bitr3d 189	1 |- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   C_ wss 3071   ` cfv 5123   topGenctg 12135   Topctop 12164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12141  df-top 12165

This theorem is referenced by:  cncnp  12399