Theorem eltop2 12417

Description: Membership in a topology. (Contributed by NM, 19-Jul-2006.)

Assertion

Ref	Expression
eltop2	|- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, J, y

Proof of Theorem eltop2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgtop 12415	. . 3 |- ( J e. Top -> ( topGen ` J ) = J )
2	1	eleq2d 2224	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A e. J ) )
3		eltg2b 12401	. 2 |- ( J e. Top -> ( A e. ( topGen ` J ) <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
4	2, 3	bitr3d 189	1 |- ( J e. Top -> ( A e. J <-> A. x e. A E. y e. J ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2125   A.wral 2432   E.wrex 2433   C_ wss 3098   ` cfv 5163   topGenctg 12313   Topctop 12342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fv 5171  df-topgen 12319  df-top 12343

This theorem is referenced by:  cncnp  12577