Theorem cnvuni 4882

Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cnvuni	|- `' U. A = U_ x e. A `' x

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnvuni

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnv2 4874	. . . 4 |- ( y e. `' U. A <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) )
2		eluni2 3868	. . . . . . 7 |- ( <. w , z >. e. U. A <-> E. x e. A <. w , z >. e. x )
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
4		r19.42v 2665	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
5	3, 4	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
6	5	2exbii 1630	. . . 4 |- ( E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
7		elcnv2 4874	. . . . . 6 |- ( y e. `' x <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
8	7	rexbii 2515	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. `' x <-> E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
9		rexcom4 2800	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
10		rexcom4 2800	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
11	10	exbii 1629	. . . . 5 |- ( E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
12	8, 9, 11	3bitrri 207	. . . 4 |- ( E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. x e. A y e. `' x )
13	1, 6, 12	3bitri 206	. . 3 |- ( y e. `' U. A <-> E. x e. A y e. `' x )
14		eliun 3945	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A `' x <-> E. x e. A y e. `' x )
15	13, 14	bitr4i 187	. 2 |- ( y e. `' U. A <-> y e. U_ x e. A `' x )
16	15	eqriv 2204	1 |- `' U. A = U_ x e. A `' x

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   E.wrex 2487   <.cop 3646   U.cuni 3864   U_ciun 3941   `'ccnv 4692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-cnv 4701

This theorem is referenced by:  funcnvuni  5362