Theorem cnvuni 4865

Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cnvuni	|- `' U. A = U_ x e. A `' x

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnvuni

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnv2 4857	. . . 4 |- ( y e. `' U. A <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) )
2		eluni2 3854	. . . . . . 7 |- ( <. w , z >. e. U. A <-> E. x e. A <. w , z >. e. x )
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
4		r19.42v 2663	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
5	3, 4	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
6	5	2exbii 1629	. . . 4 |- ( E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
7		elcnv2 4857	. . . . . 6 |- ( y e. `' x <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
8	7	rexbii 2513	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. `' x <-> E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
9		rexcom4 2795	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
10		rexcom4 2795	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
11	10	exbii 1628	. . . . 5 |- ( E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
12	8, 9, 11	3bitrri 207	. . . 4 |- ( E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. x e. A y e. `' x )
13	1, 6, 12	3bitri 206	. . 3 |- ( y e. `' U. A <-> E. x e. A y e. `' x )
14		eliun 3931	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A `' x <-> E. x e. A y e. `' x )
15	13, 14	bitr4i 187	. 2 |- ( y e. `' U. A <-> y e. U_ x e. A `' x )
16	15	eqriv 2202	1 |- `' U. A = U_ x e. A `' x

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   E.wrex 2485   <.cop 3636   U.cuni 3850   U_ciun 3927   `'ccnv 4675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-cnv 4684

This theorem is referenced by:  funcnvuni  5344