Theorem cnvuni 4790

Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cnvuni	|- `' U. A = U_ x e. A `' x

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnvuni

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnv2 4782	. . . 4 |- ( y e. `' U. A <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) )
2		eluni2 3793	. . . . . . 7 |- ( <. w , z >. e. U. A <-> E. x e. A <. w , z >. e. x )
3	2	anbi2i 453	. . . . . 6 |- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
4		r19.42v 2623	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
5	3, 4	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
6	5	2exbii 1594	. . . 4 |- ( E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
7		elcnv2 4782	. . . . . 6 |- ( y e. `' x <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
8	7	rexbii 2473	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. `' x <-> E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
9		rexcom4 2749	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
10		rexcom4 2749	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
11	10	exbii 1593	. . . . 5 |- ( E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
12	8, 9, 11	3bitrri 206	. . . 4 |- ( E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. x e. A y e. `' x )
13	1, 6, 12	3bitri 205	. . 3 |- ( y e. `' U. A <-> E. x e. A y e. `' x )
14		eliun 3870	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A `' x <-> E. x e. A y e. `' x )
15	13, 14	bitr4i 186	. 2 |- ( y e. `' U. A <-> y e. U_ x e. A `' x )
16	15	eqriv 2162	1 |- `' U. A = U_ x e. A `' x

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   E.wrex 2445   <.cop 3579   U.cuni 3789   U_ciun 3866   `'ccnv 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-cnv 4612

This theorem is referenced by:  funcnvuni  5257