Theorem cnvuni 4852

Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cnvuni	|- `' U. A = U_ x e. A `' x

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnvuni

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnv2 4844	. . . 4 |- ( y e. `' U. A <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) )
2		eluni2 3843	. . . . . . 7 |- ( <. w , z >. e. U. A <-> E. x e. A <. w , z >. e. x )
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
4		r19.42v 2654	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
5	3, 4	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
6	5	2exbii 1620	. . . 4 |- ( E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
7		elcnv2 4844	. . . . . 6 |- ( y e. `' x <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
8	7	rexbii 2504	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. `' x <-> E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
9		rexcom4 2786	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
10		rexcom4 2786	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
11	10	exbii 1619	. . . . 5 |- ( E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
12	8, 9, 11	3bitrri 207	. . . 4 |- ( E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. x e. A y e. `' x )
13	1, 6, 12	3bitri 206	. . 3 |- ( y e. `' U. A <-> E. x e. A y e. `' x )
14		eliun 3920	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A `' x <-> E. x e. A y e. `' x )
15	13, 14	bitr4i 187	. 2 |- ( y e. `' U. A <-> y e. U_ x e. A `' x )
16	15	eqriv 2193	1 |- `' U. A = U_ x e. A `' x

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   <.cop 3625   U.cuni 3839   U_ciun 3916   `'ccnv 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-cnv 4671

This theorem is referenced by:  funcnvuni  5327