Theorem cnvuni 4815

Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)

Assertion

Ref	Expression
cnvuni	|- `' U. A = U_ x e. A `' x

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem cnvuni

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcnv2 4807	. . . 4 |- ( y e. `' U. A <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) )
2		eluni2 3815	. . . . . . 7 |- ( <. w , z >. e. U. A <-> E. x e. A <. w , z >. e. x )
3	2	anbi2i 457	. . . . . 6 |- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
4		r19.42v 2634	. . . . . 6 |- ( E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> ( y = <. z , w >. /\ E. x e. A <. w , z >. e. x ) )
5	3, 4	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
6	5	2exbii 1606	. . . 4 |- ( E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. U. A ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
7		elcnv2 4807	. . . . . 6 |- ( y e. `' x <-> E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
8	7	rexbii 2484	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. `' x <-> E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
9		rexcom4 2762	. . . . 5 |- ( E. x e. A E. z E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
10		rexcom4 2762	. . . . . 6 |- ( E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
11	10	exbii 1605	. . . . 5 |- ( E. z E. x e. A E. w ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) )
12	8, 9, 11	3bitrri 207	. . . 4 |- ( E. z E. w E. x e. A ( y = <. z , w >. /\ <. w , z >. e. x ) <-> E. x e. A y e. `' x )
13	1, 6, 12	3bitri 206	. . 3 |- ( y e. `' U. A <-> E. x e. A y e. `' x )
14		eliun 3892	. . 3 |- ( y e. U_ x e. A `' x <-> E. x e. A y e. `' x )
15	13, 14	bitr4i 187	. 2 |- ( y e. `' U. A <-> y e. U_ x e. A `' x )
16	15	eqriv 2174	1 |- `' U. A = U_ x e. A `' x

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   E.wrex 2456   <.cop 3597   U.cuni 3811   U_ciun 3888   `'ccnv 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-cnv 4636

This theorem is referenced by:  funcnvuni  5287