ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvuni Unicode version

Theorem cnvuni 4797
Description: The converse of a class union is the (indexed) union of the converses of its members. (Contributed by NM, 11-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
cnvuni  |-  `' U. A  =  U_ x  e.  A  `' x
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem cnvuni
Dummy variables  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcnv2 4789 . . . 4  |-  ( y  e.  `' U. A  <->  E. z E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A ) )
2 eluni2 3800 . . . . . . 7  |-  ( <.
w ,  z >.  e.  U. A  <->  E. x  e.  A  <. w ,  z >.  e.  x
)
32anbi2i 454 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A )  <->  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  E. x  e.  A  <. w ,  z
>.  e.  x ) )
4 r19.42v 2627 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
)  <->  ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
E. x  e.  A  <. w ,  z >.  e.  x ) )
53, 4bitr4i 186 . . . . 5  |-  ( ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A )  <->  E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z
>.  e.  x ) )
652exbii 1599 . . . 4  |-  ( E. z E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  U. A )  <->  E. z E. w E. x  e.  A  ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
7 elcnv2 4789 . . . . . 6  |-  ( y  e.  `' x  <->  E. z E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
87rexbii 2477 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  y  e.  `' x  <->  E. x  e.  A  E. z E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
9 rexcom4 2753 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. z E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z
>.  e.  x )  <->  E. z E. x  e.  A  E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x ) )
10 rexcom4 2753 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. w ( y  = 
<. z ,  w >.  /\ 
<. w ,  z >.  e.  x )  <->  E. w E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
) )
1110exbii 1598 . . . . 5  |-  ( E. z E. x  e.  A  E. w ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
)  <->  E. z E. w E. x  e.  A  ( y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
) )
128, 9, 113bitrri 206 . . . 4  |-  ( E. z E. w E. x  e.  A  (
y  =  <. z ,  w >.  /\  <. w ,  z >.  e.  x
)  <->  E. x  e.  A  y  e.  `' x
)
131, 6, 123bitri 205 . . 3  |-  ( y  e.  `' U. A  <->  E. x  e.  A  y  e.  `' x )
14 eliun 3877 . . 3  |-  ( y  e.  U_ x  e.  A  `' x  <->  E. x  e.  A  y  e.  `' x )
1513, 14bitr4i 186 . 2  |-  ( y  e.  `' U. A  <->  y  e.  U_ x  e.  A  `' x )
1615eqriv 2167 1  |-  `' U. A  =  U_ x  e.  A  `' x
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1348   E.wex 1485    e. wcel 2141   E.wrex 2449   <.cop 3586   U.cuni 3796   U_ciun 3873   `'ccnv 4610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-cnv 4619
This theorem is referenced by:  funcnvuni  5267
  Copyright terms: Public domain W3C validator