Theorem eltg2b 12005

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg2b	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, V, y

Proof of Theorem eltg2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg2 12004	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
2		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ y C_ A ) -> x e. y )
3	2	reximi 2488	. . . . . 6 |- ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> E. y e. B x e. y )
4		eluni2 3687	. . . . . 6 |- ( x e. U. B <-> E. y e. B x e. y )
5	3, 4	sylibr 133	. . . . 5 |- ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> x e. U. B )
6	5	ralimi 2454	. . . 4 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> A. x e. A x e. U. B )
7		dfss3 3037	. . . 4 |- ( A C_ U. B <-> A. x e. A x e. U. B )
8	6, 7	sylibr 133	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> A C_ U. B )
9	8	pm4.71ri 387	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
10	1, 9	syl6bbr 197	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   C_ wss 3021   U.cuni 3683   ` cfv 5059   topGenctg 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-v 2643  df-sbc 2863  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-topgen 11923

This theorem is referenced by:  tg2  12011  tgcl  12015  eltop2  12021  tgss2  12030  basgen2  12032  eltx  12209  tgqioo  12466