Theorem eltg2b 14468

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg2b	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, V, y

Proof of Theorem eltg2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg2 14467	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
2		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ y C_ A ) -> x e. y )
3	2	reximi 2602	. . . . . 6 |- ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> E. y e. B x e. y )
4		eluni2 3853	. . . . . 6 |- ( x e. U. B <-> E. y e. B x e. y )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 |- ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> x e. U. B )
6	5	ralimi 2568	. . . 4 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> A. x e. A x e. U. B )
7		dfss3 3181	. . . 4 |- ( A C_ U. B <-> A. x e. A x e. U. B )
8	6, 7	sylibr 134	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> A C_ U. B )
9	8	pm4.71ri 392	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
10	1, 9	bitr4di 198	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2175   A.wral 2483   E.wrex 2484   C_ wss 3165   U.cuni 3849   ` cfv 5270   topGenctg 13028

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fv 5278  df-topgen 13034

This theorem is referenced by:  tg2  14474  tgcl  14478  eltop2  14484  tgss2  14493  basgen2  14495  eltx  14673  tgqioo  14969