ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg2b Unicode version

Theorem eltg2b 13991
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg2b  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y    x, V, y

Proof of Theorem eltg2b
StepHypRef Expression
1 eltg2 13990 . 2  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) ) )
2 simpl 109 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  x  e.  y )
32reximi 2587 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  E. y  e.  B  x  e.  y )
4 eluni2 3828 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U. B  <->  E. y  e.  B  x  e.  y )
53, 4sylibr 134 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  x  e.  U. B )
65ralimi 2553 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
7 dfss3 3160 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. B  <->  A. x  e.  A  x  e.  U. B )
86, 7sylibr 134 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  ->  A  C_  U. B )
98pm4.71ri 392 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A )  <->  ( A  C_ 
U. B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
101, 9bitr4di 198 1  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  e.  ( topGen `  B )  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  e.  y  /\  y  C_  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469    C_ wss 3144   U.cuni 3824   ` cfv 5232   topGenctg 12752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fv 5240  df-topgen 12758
This theorem is referenced by:  tg2  13997  tgcl  14001  eltop2  14007  tgss2  14016  basgen2  14018  eltx  14196  tgqioo  14484
  Copyright terms: Public domain W3C validator