Theorem eltg2b 12694

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg2b	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, V, y

Proof of Theorem eltg2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg2 12693	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
2		simpl 108	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ y C_ A ) -> x e. y )
3	2	reximi 2563	. . . . . 6 |- ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> E. y e. B x e. y )
4		eluni2 3793	. . . . . 6 |- ( x e. U. B <-> E. y e. B x e. y )
5	3, 4	sylibr 133	. . . . 5 |- ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> x e. U. B )
6	5	ralimi 2529	. . . 4 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> A. x e. A x e. U. B )
7		dfss3 3132	. . . 4 |- ( A C_ U. B <-> A. x e. A x e. U. B )
8	6, 7	sylibr 133	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> A C_ U. B )
9	8	pm4.71ri 390	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
10	1, 9	bitr4di 197	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   U.cuni 3789   ` cfv 5188   topGenctg 12571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577

This theorem is referenced by:  tg2  12700  tgcl  12704  eltop2  12710  tgss2  12719  basgen2  12721  eltx  12899  tgqioo  13187