Theorem eltg2b 14848

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eltg2b	|- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, V, y

Proof of Theorem eltg2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltg2 14847	. 2 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) ) )
2		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( x e. y /\ y C_ A ) -> x e. y )
3	2	reximi 2630	. . . . . 6 |- ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> E. y e. B x e. y )
4		eluni2 3902	. . . . . 6 |- ( x e. U. B <-> E. y e. B x e. y )
5	3, 4	sylibr 134	. . . . 5 |- ( E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> x e. U. B )
6	5	ralimi 2596	. . . 4 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> A. x e. A x e. U. B )
7		dfss3 3217	. . . 4 |- ( A C_ U. B <-> A. x e. A x e. U. B )
8	6, 7	sylibr 134	. . 3 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) -> A C_ U. B )
9	8	pm4.71ri 392	. 2 |- ( A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) <-> ( A C_ U. B /\ A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )
10	1, 9	bitr4di 198	1 |- ( B e. V -> ( A e. ( topGen ` B ) <-> A. x e. A E. y e. B ( x e. y /\ y C_ A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   C_ wss 3201   U.cuni 3898   ` cfv 5333   topGenctg 13400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-topgen 13406

This theorem is referenced by:  tg2  14854  tgcl  14858  eltop2  14864  tgss2  14873  basgen2  14875  eltx  15053  tgqioo  15349