Theorem encv 6814

Description: If two classes are equinumerous, both classes are sets. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
encv	|- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )

Proof of Theorem encv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6812	. 2 |- Rel ~~
2		brrelex12 4702	. 2 |- ( ( Rel ~~ /\ A ~~ B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3	1, 2	mpan 424	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   Rel wrel 4669   ~~ cen 6806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-en 6809

This theorem is referenced by:  bren  6815  en1uniel  6872  cardcl  7259  isnumi  7260  cardval3ex  7263  djuen  7294  ccfunen  7347