Theorem encv 6461

Description: If two classes are equinumerous, both classes are sets. (Contributed by AV, 21-Mar-2019.)

Assertion

Ref	Expression
encv	|- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )

Proof of Theorem encv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6459	. 2 |- Rel ~~
2		brrelex12 4475	. 2 |- ( ( Rel ~~ /\ A ~~ B ) -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
3	1, 2	mpan 415	1 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3845   Rel wrel 4443   ~~ cen 6453

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445  df-en 6456

This theorem is referenced by:  bren  6462  en1uniel  6519  cardcl  6807  isnumi  6808  cardval3ex  6811