Theorem bren 6815

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 6814	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2		f1ofn 5508	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
3		fndm 5358	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> dom f = A )
4		vex 2766	. . . . . . 7 |- f e. _V
5	4	dmex 4933	. . . . . 6 |- dom f e. _V
6	3, 5	eqeltrrdi 2288	. . . . 5 |- ( f Fn A -> A e. _V )
7	2, 6	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
8		f1ofo 5514	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
9		forn 5486	. . . . . 6 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ran f = B )
11	4	rnex 4934	. . . . 5 |- ran f e. _V
12	10, 11	eqeltrrdi 2288	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
13	7, 12	jca 306	. . 3 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14	13	exlimiv 1612	. 2 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
15		f1oeq2 5496	. . . 4 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> y ) )
16	15	exbidv 1839	. . 3 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> y ) )
17		f1oeq3 5497	. . . 4 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> B ) )
18	17	exbidv 1839	. . 3 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
19		df-en 6809	. . 3 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
20	16, 18, 19	brabg 4304	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
21	1, 14, 20	pm5.21nii 705	1 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   class class class wbr 4034   dom cdm 4664   ran crn 4665   Fn wfn 5254   -onto->wfo 5257   -1-1-onto->wf1o 5258   ~~ cen 6806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-en 6809

This theorem is referenced by:  domen  6819  f1oen3g  6822  ener  6847  en0  6863  ensn1  6864  en1  6867  unen  6884  enm  6888  xpen  6915  mapen  6916  ssenen  6921  phplem4  6925  phplem4on  6937  fidceq  6939  dif1en  6949  fin0  6955  fin0or  6956  en2eqpr  6977  fiintim  7001  fidcenumlemim  7027  enomnilem  7213  enmkvlem  7236  enwomnilem  7244  cc3  7351  hasheqf1o  10894  hashfacen  10945  fz1f1o  11557  nninfct  12233  eulerth  12426  ennnfonelemim  12666  exmidunben  12668  ctinfom  12670  qnnen  12673  enctlem  12674  ctiunct  12682  exmidsbthrlem  15753  sbthom  15757