Theorem bren 6747

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 6746	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2		f1ofn 5463	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
3		fndm 5316	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> dom f = A )
4		vex 2741	. . . . . . 7 |- f e. _V
5	4	dmex 4894	. . . . . 6 |- dom f e. _V
6	3, 5	eqeltrrdi 2269	. . . . 5 |- ( f Fn A -> A e. _V )
7	2, 6	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
8		f1ofo 5469	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
9		forn 5442	. . . . . 6 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ran f = B )
11	4	rnex 4895	. . . . 5 |- ran f e. _V
12	10, 11	eqeltrrdi 2269	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
13	7, 12	jca 306	. . 3 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14	13	exlimiv 1598	. 2 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
15		f1oeq2 5451	. . . 4 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> y ) )
16	15	exbidv 1825	. . 3 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> y ) )
17		f1oeq3 5452	. . . 4 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> B ) )
18	17	exbidv 1825	. . 3 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
19		df-en 6741	. . 3 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
20	16, 18, 19	brabg 4270	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
21	1, 14, 20	pm5.21nii 704	1 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   class class class wbr 4004   dom cdm 4627   ran crn 4628   Fn wfn 5212   -onto->wfo 5215   -1-1-onto->wf1o 5216   ~~ cen 6738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-dm 4637  df-rn 4638  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-en 6741

This theorem is referenced by:  domen  6751  f1oen3g  6754  ener  6779  en0  6795  ensn1  6796  en1  6799  unen  6816  enm  6820  xpen  6845  mapen  6846  ssenen  6851  phplem4  6855  phplem4on  6867  fidceq  6869  dif1en  6879  fin0  6885  fin0or  6886  en2eqpr  6907  fiintim  6928  fidcenumlemim  6951  enomnilem  7136  enmkvlem  7159  enwomnilem  7167  cc3  7267  hasheqf1o  10765  hashfacen  10816  fz1f1o  11383  eulerth  12233  ennnfonelemim  12425  exmidunben  12427  ctinfom  12429  qnnen  12432  enctlem  12433  ctiunct  12441  exmidsbthrlem  14773  sbthom  14777