Theorem bren 7034

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 7032	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2		f1ofn 5643	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
3		fndm 5483	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> dom f = A )
4		vex 2824	. . . . . . 7 |- f e. _V
5	4	dmex 5051	. . . . . 6 |- dom f e. _V
6	3, 5	eqeltrrdi 2330	. . . . 5 |- ( f Fn A -> A e. _V )
7	2, 6	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
8		f1ofo 5649	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
9		forn 5621	. . . . . 6 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ran f = B )
11	4	rnex 5052	. . . . 5 |- ran f e. _V
12	10, 11	eqeltrrdi 2330	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
13	7, 12	jca 306	. . 3 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14	13	exlimiv 1651	. 2 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
15		f1oeq2 5631	. . . 4 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> y ) )
16	15	exbidv 1878	. . 3 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> y ) )
17		f1oeq3 5632	. . . 4 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> B ) )
18	17	exbidv 1878	. . 3 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
19		df-en 7027	. . 3 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
20	16, 18, 19	brabg 4413	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
21	1, 14, 20	pm5.21nii 716	1 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   ran crn 4777   Fn wfn 5375   -onto->wfo 5378   -1-1-onto->wf1o 5379   ~~ cen 7024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-en 7027

This theorem is used by:  domen  7039  f1oen3g  7044  ener  7070  en0  7086  ensn1  7087  en1  7090  unen  7109  en2  7116  enm  7122  xpen  7149  mapen  7150  ssenen  7156  phplem4  7160  phplem4on  7173  fidceq  7175  dif1en  7187  fin0  7193  fin0or  7194  en2eqpr  7218  fiintim  7242  fidcenumlemim  7274  enomnilem  7484  enmkvlem  7507  enwomnilem  7515  pr2cv1  7547  cc3  7640  hasheqf1o  11246  hashfacen  11306  fz1f1o  12166  nninfct  12843  eulerth  13040  ennnfonelemim  13373  exmidunben  13375  ctinfom  13377  qnnen  13380  enctlem  13381  ctiunct  13389  gsumf1ofi  14250  gsummhmfi  14264  gsumressfi  14267  exmidsbthrlem  17273  sbthom  17277