Theorem bren 6983

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 6981	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2		f1ofn 5615	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
3		fndm 5455	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> dom f = A )
4		vex 2816	. . . . . . 7 |- f e. _V
5	4	dmex 5024	. . . . . 6 |- dom f e. _V
6	3, 5	eqeltrrdi 2324	. . . . 5 |- ( f Fn A -> A e. _V )
7	2, 6	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
8		f1ofo 5621	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
9		forn 5593	. . . . . 6 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ran f = B )
11	4	rnex 5025	. . . . 5 |- ran f e. _V
12	10, 11	eqeltrrdi 2324	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
13	7, 12	jca 306	. . 3 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14	13	exlimiv 1647	. 2 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
15		f1oeq2 5603	. . . 4 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> y ) )
16	15	exbidv 1874	. . 3 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> y ) )
17		f1oeq3 5604	. . . 4 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> B ) )
18	17	exbidv 1874	. . 3 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
19		df-en 6976	. . 3 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
20	16, 18, 19	brabg 4387	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
21	1, 14, 20	pm5.21nii 712	1 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   class class class wbr 4109   dom cdm 4749   ran crn 4750   Fn wfn 5347   -onto->wfo 5350   -1-1-onto->wf1o 5351   ~~ cen 6973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-dm 4759  df-rn 4760  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-en 6976

This theorem is referenced by:  domen  6988  f1oen3g  6993  ener  7019  en0  7035  ensn1  7036  en1  7039  unen  7058  en2  7065  enm  7071  xpen  7098  mapen  7099  ssenen  7105  phplem4  7109  phplem4on  7122  fidceq  7124  dif1en  7136  fin0  7142  fin0or  7143  en2eqpr  7167  fiintim  7191  fidcenumlemim  7222  enomnilem  7429  enmkvlem  7452  enwomnilem  7460  pr2cv1  7492  cc3  7582  hasheqf1o  11148  hashfacen  11208  fz1f1o  12060  nninfct  12737  eulerth  12930  ennnfonelemim  13175  exmidunben  13177  ctinfom  13179  qnnen  13182  enctlem  13183  ctiunct  13191  exmidsbthrlem  16802  sbthom  16806