Theorem bren 6903

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 6901	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2		f1ofn 5575	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
3		fndm 5420	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> dom f = A )
4		vex 2802	. . . . . . 7 |- f e. _V
5	4	dmex 4991	. . . . . 6 |- dom f e. _V
6	3, 5	eqeltrrdi 2321	. . . . 5 |- ( f Fn A -> A e. _V )
7	2, 6	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
8		f1ofo 5581	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
9		forn 5553	. . . . . 6 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ran f = B )
11	4	rnex 4992	. . . . 5 |- ran f e. _V
12	10, 11	eqeltrrdi 2321	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
13	7, 12	jca 306	. . 3 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14	13	exlimiv 1644	. 2 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
15		f1oeq2 5563	. . . 4 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> y ) )
16	15	exbidv 1871	. . 3 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> y ) )
17		f1oeq3 5564	. . . 4 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> B ) )
18	17	exbidv 1871	. . 3 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
19		df-en 6896	. . 3 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
20	16, 18, 19	brabg 4357	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
21	1, 14, 20	pm5.21nii 709	1 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   class class class wbr 4083   dom cdm 4719   ran crn 4720   Fn wfn 5313   -onto->wfo 5316   -1-1-onto->wf1o 5317   ~~ cen 6893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-dm 4729  df-rn 4730  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-en 6896

This theorem is referenced by:  domen  6908  f1oen3g  6913  ener  6939  en0  6955  ensn1  6956  en1  6959  unen  6977  en2  6981  enm  6987  xpen  7014  mapen  7015  ssenen  7020  phplem4  7024  phplem4on  7037  fidceq  7039  dif1en  7049  fin0  7055  fin0or  7056  en2eqpr  7080  fiintim  7104  fidcenumlemim  7130  enomnilem  7316  enmkvlem  7339  enwomnilem  7347  pr2cv1  7379  cc3  7465  hasheqf1o  11019  hashfacen  11071  fz1f1o  11901  nninfct  12577  eulerth  12770  ennnfonelemim  13010  exmidunben  13012  ctinfom  13014  qnnen  13017  enctlem  13018  ctiunct  13026  exmidsbthrlem  16450  sbthom  16454