Theorem bren 7036

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 7034	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2		f1ofn 5643	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
3		fndm 5483	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> dom f = A )
4		vex 2824	. . . . . . 7 |- f e. _V
5	4	dmex 5051	. . . . . 6 |- dom f e. _V
6	3, 5	eqeltrrdi 2330	. . . . 5 |- ( f Fn A -> A e. _V )
7	2, 6	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
8		f1ofo 5649	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
9		forn 5621	. . . . . 6 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ran f = B )
11	4	rnex 5052	. . . . 5 |- ran f e. _V
12	10, 11	eqeltrrdi 2330	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
13	7, 12	jca 306	. . 3 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14	13	exlimiv 1651	. 2 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
15		f1oeq2 5631	. . . 4 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> y ) )
16	15	exbidv 1878	. . 3 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> y ) )
17		f1oeq3 5632	. . . 4 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> B ) )
18	17	exbidv 1878	. . 3 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
19		df-en 7029	. . 3 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
20	16, 18, 19	brabg 4413	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
21	1, 14, 20	pm5.21nii 716	1 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   ran crn 4777   Fn wfn 5375   -onto->wfo 5378   -1-1-onto->wf1o 5379   ~~ cen 7026

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-dm 4786  df-rn 4787  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-en 7029

This theorem is used by:  domen  7041  f1oen3g  7046  ener  7072  en0  7088  ensn1  7089  en1  7092  unen  7111  en2  7118  enm  7124  xpen  7151  mapen  7152  ssenen  7158  phplem4  7162  phplem4on  7175  fidceq  7177  dif1en  7189  fin0  7195  fin0or  7196  en2eqpr  7220  fiintim  7244  fidcenumlemim  7276  enomnilem  7484  enmkvlem  7507  enwomnilem  7515  pr2cv1  7547  cc3  7640  hasheqf1o  11245  hashfacen  11305  fz1f1o  12165  nninfct  12842  eulerth  13039  ennnfonelemim  13372  exmidunben  13374  ctinfom  13376  qnnen  13379  enctlem  13380  ctiunct  13388  gsumf1ofi  14249  gsummhmfi  14263  gsumressfi  14266  exmidsbthrlem  17290  sbthom  17294