ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bren Unicode version

Theorem bren 6464
Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
bren  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem bren
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 encv 6463 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
2 f1ofn 5254 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f  Fn  A )
3 fndm 5113 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  A  ->  dom  f  =  A )
4 vex 2622 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
54dmex 4699 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
63, 5syl6eqelr 2179 . . . . 5  |-  ( f  Fn  A  ->  A  e.  _V )
72, 6syl 14 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  A  e.  _V )
8 f1ofo 5260 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
9 forn 5236 . . . . . 6  |-  ( f : A -onto-> B  ->  ran  f  =  B
)
108, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ran  f  =  B )
114rnex 4700 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
1210, 11syl6eqelr 2179 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  B  e.  _V )
137, 12jca 300 . . 3  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
1413exlimiv 1534 . 2  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
15 f1oeq2 5245 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-onto-> y  <->  f : A
-1-1-onto-> y ) )
1615exbidv 1753 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x
-1-1-onto-> y 
<->  E. f  f : A -1-1-onto-> y ) )
17 f1oeq3 5246 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-onto-> y  <->  f : A
-1-1-onto-> B ) )
1817exbidv 1753 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> y 
<->  E. f  f : A -1-1-onto-> B ) )
19 df-en 6458 . . 3  |-  ~~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }
2016, 18, 19brabg 4096 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  ~~  B  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> B
) )
211, 14, 20pm5.21nii 655 1  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   class class class wbr 3845   dom cdm 4438   ran crn 4439    Fn wfn 5010   -onto->wfo 5013   -1-1-onto->wf1o 5014    ~~ cen 6455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-dm 4448  df-rn 4449  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-en 6458
This theorem is referenced by:  domen  6468  f1oen3g  6471  ener  6496  en0  6512  ensn1  6513  en1  6516  unen  6533  enm  6536  xpen  6561  mapen  6562  ssenen  6567  phplem4  6571  phplem4on  6583  fidceq  6585  dif1en  6595  fin0  6601  fin0or  6602  en2eqpr  6623  fiintim  6639  fidcenumlemim  6661  enomnilem  6794  hasheqf1o  10193  hashfacen  10241  fz1f1o  10764  exmidsbthrlem  11912
  Copyright terms: Public domain W3C validator