Theorem bren 6916

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 6914	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2		f1ofn 5584	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
3		fndm 5429	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> dom f = A )
4		vex 2805	. . . . . . 7 |- f e. _V
5	4	dmex 4999	. . . . . 6 |- dom f e. _V
6	3, 5	eqeltrrdi 2323	. . . . 5 |- ( f Fn A -> A e. _V )
7	2, 6	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
8		f1ofo 5590	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
9		forn 5562	. . . . . 6 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ran f = B )
11	4	rnex 5000	. . . . 5 |- ran f e. _V
12	10, 11	eqeltrrdi 2323	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
13	7, 12	jca 306	. . 3 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14	13	exlimiv 1646	. 2 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
15		f1oeq2 5572	. . . 4 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> y ) )
16	15	exbidv 1873	. . 3 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> y ) )
17		f1oeq3 5573	. . . 4 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> B ) )
18	17	exbidv 1873	. . 3 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
19		df-en 6909	. . 3 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
20	16, 18, 19	brabg 4363	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
21	1, 14, 20	pm5.21nii 711	1 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   class class class wbr 4088   dom cdm 4725   ran crn 4726   Fn wfn 5321   -onto->wfo 5324   -1-1-onto->wf1o 5325   ~~ cen 6906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-dm 4735  df-rn 4736  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-en 6909

This theorem is referenced by:  domen  6921  f1oen3g  6926  ener  6952  en0  6968  ensn1  6969  en1  6972  unen  6990  en2  6997  enm  7003  xpen  7030  mapen  7031  ssenen  7036  phplem4  7040  phplem4on  7053  fidceq  7055  dif1en  7067  fin0  7073  fin0or  7074  en2eqpr  7098  fiintim  7122  fidcenumlemim  7150  enomnilem  7336  enmkvlem  7359  enwomnilem  7367  pr2cv1  7399  cc3  7486  hasheqf1o  11046  hashfacen  11099  fz1f1o  11935  nninfct  12611  eulerth  12804  ennnfonelemim  13044  exmidunben  13046  ctinfom  13048  qnnen  13051  enctlem  13052  ctiunct  13060  exmidsbthrlem  16626  sbthom  16630