ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bren Unicode version

Theorem bren 6634
Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
bren  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
Distinct variable groups:    A, f    B, f

Proof of Theorem bren
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 encv 6633 . 2  |-  ( A 
~~  B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
2 f1ofn 5361 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f  Fn  A )
3 fndm 5217 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  A  ->  dom  f  =  A )
4 vex 2684 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
54dmex 4800 . . . . . 6  |-  dom  f  e.  _V
63, 5eqeltrrdi 2229 . . . . 5  |-  ( f  Fn  A  ->  A  e.  _V )
72, 6syl 14 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  A  e.  _V )
8 f1ofo 5367 . . . . . 6  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  f : A -onto-> B )
9 forn 5343 . . . . . 6  |-  ( f : A -onto-> B  ->  ran  f  =  B
)
108, 9syl 14 . . . . 5  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ran  f  =  B )
114rnex 4801 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
1210, 11eqeltrrdi 2229 . . . 4  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  B  e.  _V )
137, 12jca 304 . . 3  |-  ( f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
1413exlimiv 1577 . 2  |-  ( E. f  f : A -1-1-onto-> B  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
15 f1oeq2 5352 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
f : x -1-1-onto-> y  <->  f : A
-1-1-onto-> y ) )
1615exbidv 1797 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( E. f  f :
x
-1-1-onto-> y 
<->  E. f  f : A -1-1-onto-> y ) )
17 f1oeq3 5353 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
f : A -1-1-onto-> y  <->  f : A
-1-1-onto-> B ) )
1817exbidv 1797 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  ( E. f  f : A
-1-1-onto-> y 
<->  E. f  f : A -1-1-onto-> B ) )
19 df-en 6628 . . 3  |-  ~~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }
2016, 18, 19brabg 4186 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  ~~  B  <->  E. f  f : A -1-1-onto-> B
) )
211, 14, 20pm5.21nii 693 1  |-  ( A 
~~  B  <->  E. f 
f : A -1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   _Vcvv 2681   class class class wbr 3924   dom cdm 4534   ran crn 4535    Fn wfn 5113   -onto->wfo 5116   -1-1-onto->wf1o 5117    ~~ cen 6625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-dm 4544  df-rn 4545  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-en 6628
This theorem is referenced by:  domen  6638  f1oen3g  6641  ener  6666  en0  6682  ensn1  6683  en1  6686  unen  6703  enm  6707  xpen  6732  mapen  6733  ssenen  6738  phplem4  6742  phplem4on  6754  fidceq  6756  dif1en  6766  fin0  6772  fin0or  6773  en2eqpr  6794  fiintim  6810  fidcenumlemim  6833  enomnilem  7003  hasheqf1o  10524  hashfacen  10572  fz1f1o  11137  ennnfonelemim  11926  exmidunben  11928  ctinfom  11930  qnnen  11933  enctlem  11934  ctiunct  11942  exmidsbthrlem  13206  sbthom  13210
  Copyright terms: Public domain W3C validator