Theorem bren 6893

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 6891	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2		f1ofn 5572	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
3		fndm 5419	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> dom f = A )
4		vex 2802	. . . . . . 7 |- f e. _V
5	4	dmex 4990	. . . . . 6 |- dom f e. _V
6	3, 5	eqeltrrdi 2321	. . . . 5 |- ( f Fn A -> A e. _V )
7	2, 6	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
8		f1ofo 5578	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
9		forn 5550	. . . . . 6 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ran f = B )
11	4	rnex 4991	. . . . 5 |- ran f e. _V
12	10, 11	eqeltrrdi 2321	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
13	7, 12	jca 306	. . 3 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14	13	exlimiv 1644	. 2 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
15		f1oeq2 5560	. . . 4 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> y ) )
16	15	exbidv 1871	. . 3 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> y ) )
17		f1oeq3 5561	. . . 4 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> B ) )
18	17	exbidv 1871	. . 3 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
19		df-en 6886	. . 3 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
20	16, 18, 19	brabg 4356	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
21	1, 14, 20	pm5.21nii 709	1 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   class class class wbr 4082   dom cdm 4718   ran crn 4719   Fn wfn 5312   -onto->wfo 5315   -1-1-onto->wf1o 5316   ~~ cen 6883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-dm 4728  df-rn 4729  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-en 6886

This theorem is referenced by:  domen  6898  f1oen3g  6903  ener  6929  en0  6945  ensn1  6946  en1  6949  unen  6967  en2  6971  enm  6975  xpen  7002  mapen  7003  ssenen  7008  phplem4  7012  phplem4on  7025  fidceq  7027  dif1en  7037  fin0  7043  fin0or  7044  en2eqpr  7065  fiintim  7089  fidcenumlemim  7115  enomnilem  7301  enmkvlem  7324  enwomnilem  7332  pr2cv1  7364  cc3  7450  hasheqf1o  11002  hashfacen  11053  fz1f1o  11881  nninfct  12557  eulerth  12750  ennnfonelemim  12990  exmidunben  12992  ctinfom  12994  qnnen  12997  enctlem  12998  ctiunct  13006  exmidsbthrlem  16349  sbthom  16353