Theorem bren 7020

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 7018	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2		f1ofn 5635	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
3		fndm 5475	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> dom f = A )
4		vex 2824	. . . . . . 7 |- f e. _V
5	4	dmex 5044	. . . . . 6 |- dom f e. _V
6	3, 5	eqeltrrdi 2330	. . . . 5 |- ( f Fn A -> A e. _V )
7	2, 6	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
8		f1ofo 5641	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
9		forn 5613	. . . . . 6 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ran f = B )
11	4	rnex 5045	. . . . 5 |- ran f e. _V
12	10, 11	eqeltrrdi 2330	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
13	7, 12	jca 306	. . 3 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14	13	exlimiv 1651	. 2 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
15		f1oeq2 5623	. . . 4 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> y ) )
16	15	exbidv 1878	. . 3 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> y ) )
17		f1oeq3 5624	. . . 4 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> B ) )
18	17	exbidv 1878	. . 3 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
19		df-en 7013	. . 3 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
20	16, 18, 19	brabg 4406	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
21	1, 14, 20	pm5.21nii 716	1 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4125   dom cdm 4769   ran crn 4770   Fn wfn 5367   -onto->wfo 5370   -1-1-onto->wf1o 5371   ~~ cen 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-en 7013

This theorem is referenced by:  domen  7025  f1oen3g  7030  ener  7056  en0  7072  ensn1  7073  en1  7076  unen  7095  en2  7102  enm  7108  xpen  7135  mapen  7136  ssenen  7142  phplem4  7146  phplem4on  7159  fidceq  7161  dif1en  7173  fin0  7179  fin0or  7180  en2eqpr  7204  fiintim  7228  fidcenumlemim  7259  enomnilem  7468  enmkvlem  7491  enwomnilem  7499  pr2cv1  7531  cc3  7624  hasheqf1o  11202  hashfacen  11262  fz1f1o  12119  nninfct  12796  eulerth  12989  ennnfonelemim  13293  exmidunben  13295  ctinfom  13297  qnnen  13300  enctlem  13301  ctiunct  13309  gsumf1ofi  14137  gsummhmfi  14141  gsumressfi  14144  exmidsbthrlem  16972  sbthom  16976